Calculadora de Arco Cotangente

O que é o Arco Cotangente?

O arco cotangente (arccot) faz o caminho inverso da cotangente. A partir de um valor x, ele devolve o ângulo θ em que cot(θ) = x, e na prática se calcula por arccot(x) = π/2 − arctan(x).

A resposta fica sempre dentro de (0°, 180°). Por exemplo: arccot(1) = 45°, arccot(0) = 90° e arccot(−1) = 135°.

Qualquer número real serve de entrada.

A função arco-cotangente

O arco-cotangente desfaz a cotangente. Escrevemos acot(x) = θ quando cot(θ) = x. A maioria das referências adota domínio ℝ e contradomínio (0, π), o que dá uma curva contínua que decresce do início ao fim, com assíntotas horizontais em 0 e π. Há livros que preferem [−π/2, π/2] \ {0}, então vale conferir qual deles a sua ferramenta usa antes de confiar num valor. Para um exemplo rápido, acot(1) = π/4 = 45°. A derivada sai como (acot x)' = −1/(1 + x²); o sinal negativo é o que a separa da derivada do arco-tangente, e nada mais. E as duas ficam ligadas diretamente, já que atan(x) + acot(x) = π/2 vale para todo x > 0, tornando-as complementares.

Aplicações: integração, óptica e séries de Fourier

É menos ensinado no nível elementar que o arco-tangente, mas o arco-cotangente ainda aparece em alguns lugares. Você o encontra em tabelas de integração, onde a primitiva ∫ 1/(1+x²) dx pode ser escrita tanto como atan x + C quanto, com igual validade, como −acot x + C. Também surge na óptica geométrica em algumas fórmulas de ângulo de incidência, em séries de Fourier que vêm de funções racionais, e como expressão substituta em certos métodos numéricos.

Perguntas frequentes

Por que há duas convenções para o contradomínio? Escolher (0, π) mantém a curva contínua, ao passo que [−π/2, π/2] \ {0} torna acot uma função ímpar, compatível com acot(x) = atan(1/x). Textos modernos e sistemas de álgebra computacional geralmente ficam do lado da continuidade.

Como acot se relaciona com atan? Quando x > 0, você tem acot(x) = atan(1/x) = π/2 − atan(x). Assim que x cai abaixo de zero, a fórmula ganha uma correção de π cujo sinal depende da convenção que você adotou.

Quanto vale acot(0)? Se você usa a convenção (0, π), então acot(0) = π/2 = 90°, porque cot(π/2) = 0.

Por que a função é decrescente? A cotangente já é decrescente em cada um de seus ramos principais, e uma inversa mantém essa monotonicidade, então o arco-cotangente decresce também.