Calculadora de Arco Cossecante

O que é o Arco Cossecante?

Sendo a inversa da cossecante, o arco cossecante (arccsc) parte de um valor x e devolve o ângulo θ que satisfaz csc(θ) = x. O cálculo se reduz a arccsc(x) = arcsen(1/x).

A resposta cai no intervalo [−90°, 0°) ∪ (0°, 90°]. Veja alguns casos: arccsc(1) = 90°, arccsc(2) = 30° e arccsc(−1) = −90°.

Domínio: só vale para x ≤ −1 ou x ≥ 1. Se o valor estiver entre −1 e 1 (sem incluir as pontas), não há arco cossecante real.

A função arco cossecante

O arco cossecante acsc(x) = θ devolve o ângulo θ para o qual csc(θ) = x. A cossecante é a recíproca do seno, e como |csc θ| ≥ 1, só há entradas válidas em (−∞, −1] ∪ [1, ∞); o contradomínio principal é [−π/2, π/2] \ {0}. Aqui vale uma identidade bem útil, acsc(x) = arcsen(1/x), e a maioria das calculadoras se apoia nela por baixo dos panos, já que vêm com asen mas sem a tecla acsc. A derivada é (acsc x)' = −1 / (|x|·√(x²−1)). Veja acsc(2) = arcsen(1/2) = 30° = π/6: bate certo porque csc(30°) = 1/sen(30°) = 2.

Aplicações

Você não cruza muito com o arco cossecante no ensino médio, mas ele aparece em alguns cantos. O cálculo avançado recorre a ele em integrais por substituição trigonométrica do tipo √(x²−a²). Surge na óptica geométrica sempre que a lei de Snell é reescrita em algo com 1/sen θ, e no processamento de sinais quando se inverte uma resposta em magnitude. Tem ainda a navegação astronômica, em que valores recíprocos se encaixam bem nos ângulos pequenos que vêm da paralaxe e das observações de altitude.

Perguntas frequentes

Por que x com |x| < 1 é inválido? Porque |csc θ| ≥ 1 vale em qualquer caso. O seno nunca passa de 1 em módulo, então sua recíproca não tem como cair em (−1, 1).

Por que θ = 0 é excluído? Porque csc(0) = 1/sen(0) = 1/0 é indefinida, então não existe x algum que dê acsc(x) = 0.

Qual a diferença para arcsen? O arcsen recebe entradas em [−1, 1], que é a imagem do seno; o acsc recebe entradas fora de (−1, 1), a imagem da cossecante. A ponte entre os dois é acsc(x) = arcsen(1/x).

Como obter acsc numa calculadora sem essa tecla? Basta calcular sen⁻¹(1/x). O resultado é o mesmo valor principal.