Calculadora de Arco Cosseno

O que é o Arco Cosseno?

Como inversa do cosseno, o arco cosseno (arccos) recebe um valor x e devolve o ângulo θ em que cos(θ) = x. Seja qual for a entrada válida, a resposta fica sempre no intervalo [0°, 180°].

Para fixar: arccos(1) = 0°, arccos(0,5) = 60°, arccos(0) = 90° e arccos(−1) = 180°.

Domínio: −1 ≤ x ≤ 1. Qualquer valor fora dessa faixa não tem arco cosseno real.

A função arco-cosseno

O arco-cosseno devolve o ângulo cujo cosseno é igual a um valor dado: acos(x) = θ tal que cos(θ) = x. Seu domínio corre por [−1, 1] e o contradomínio convencional é [0, π], ou seja, de 0° até 180°. Você vai vê-la escrita como acos, cos⁻¹ ou arccos. O cosseno não é injetor em todo o seu domínio, então a inversa fica presa a um único ramo principal. A derivada vale (acos x)' = −1/√(1 − x²) e uma companheira útil é a identidade complementar asen(x) + acos(x) = π/2. Para conferir rápido, acos(0,5) = 60°.

Aplicações: vetores, geodésia e 3D

O exemplo de livro-texto é achar o ângulo entre vetores a partir do produto escalar: θ = acos((u·v)/(|u||v|)), que sustenta boa parte do trabalho em física, animação 3D e visão computacional. A distância em grande círculo entre dois pontos da Terra sai do mesmo jeito, via d = R·acos(sen φ₁ sen φ₂ + cos φ₁ cos φ₂ cos Δλ). Você também encontra o arco-cosseno na espectroscopia, onde ajuda a calcular índices de refração e ângulos de incidência, e na robótica, onde fixa os ângulos de junta na cinemática inversa.

Perguntas frequentes

Por que o domínio é restrito a [−1, 1]? Porque o cosseno só assume valores nesse intervalo. Não existe ângulo real cujo cosseno passe de 1 ou fique abaixo de −1.

Por que o contradomínio é [0°, 180°] e não [−90°, 90°]? Para manter a inversa unívoca, escolhe-se o ramo em que o cosseno é estritamente decrescente, e esse ramo acaba cobrindo [0, π].

Qual a diferença entre acos e 1/cos? Uma coisa não tem nada a ver com a outra. acos(x) é a função inversa, ao passo que 1/cos(x) = sec(x) é só o inverso multiplicativo.

Como se relaciona com asen? Por meio da identidade complementar asen(x) + acos(x) = π/2.