Calculadora de Arco Tangente

O que é o Arco Tangente?

Como inversa da tangente, o arco tangente (arctan ou arctg) toma um valor x e retorna o ângulo θ que cumpre tan(θ) = x. O resultado sempre se mantém no intervalo (−90°, 90°).

Alguns valores para referência: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45° e arctan(√3) = 60°. Qualquer número real serve de entrada, já que o domínio vai de −∞ a +∞.

Conforme x cresce para +∞, arctan(x) se aproxima de 90°; e quando x tende a −∞, arctan(x) tende a −90°.

A função arco-tangente

O arco-tangente desfaz a tangente: atan(x) = θ tal que tan(θ) = x. Você pode passar qualquer real ℝ, e a resposta sempre cai dentro do intervalo aberto (−π/2, π/2), de modo que o gráfico se achata em direção às assíntotas horizontais em ±π/2 sem nunca tocá-las. Veja atan(1) = π/4 = 45°. A derivada é (atan x)' = 1/(1 + x²), e a série de Maclaurin vale atan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − ... (Gregory–Leibniz). A convergência é lenta, mas ao colocar x = 1 chega-se à famosa série de Leibniz π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − .... Quando você programa, use atan2(y, x), a prima de dois argumentos que escolhe o quadrante certo e devolve o ângulo em (−π, π]. Você vai precisar dela para coordenadas polares e gráficos.

Aplicações: visão computacional, navegação e sinais

O arco-tangente, e em particular o atan2, aparece por toda parte. Em visão computacional ele dá o ângulo entre uma câmera e um ponto. Na navegação transforma um vetor de direção no rumo de bússola. O processamento de sinais usa-o para ler a fase de um número complexo, e a análise de terreno conta com ele para converter um gradiente em ângulo de inclinação.

Perguntas frequentes

Por que o contradomínio nunca atinge ±π/2? Nesses ângulos a própria tangente explode para ±∞. A inversa vai chegando perto desses valores como assíntotas, mas nunca pousa neles.

Qual a diferença entre atan e atan2? Depois da divisão, atan(y/x) já jogou fora se x e y eram positivos ou negativos, então só consegue responder em (−π/2, π/2). atan2(y, x) guarda os dois sinais para acertar o quadrante, retornando um valor em (−π, π].

Como funciona a série de Leibniz para π? Integre a série geométrica 1/(1+t²) = 1 − t² + t⁴ − ... de 0 até 1 e você chega em atan(1) = π/4. Ela converge, só que de forma dolorosamente lenta, o que faz dela uma curiosidade simpática, e não um jeito prático de calcular π.

O arco-tangente é uma função ímpar? É: atan(−x) = −atan(x), consequência direta de a tangente também ser ímpar.