Método de Newton-Raphson

Método de Newton–Raphson para encontrar raízes

O método de Newton–Raphson resolve f(x) = 0 iterando x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n). Cada passo troca f pela sua tangente em x_n e salta para onde essa tangente cruza o zero. A convergência é quadrática: o número de dígitos corretos aproximadamente dobra a cada iteração — extremamente rápido quando funciona. Requisitos: f precisa ser derivável e f' não pode estar perto de zero no iterado; um chute inicial ruim pode divergir ou ciclar. Exemplo — calcular √2 resolvendo x²−2=0 dá x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2. De x₀=1: 1,5 → 1,4167 → 1,41422 → 1,41421356… (8 dígitos em 4 iterações). Quando f' é caro de calcular, métodos quasi-Newton como BFGS aproximam f' a partir dos passos anteriores.

Aplicações e contexto

Newton–Raphson alimenta solvers de planilha (Excel Solver e Atingir Meta), CAD/CAM (interseção de curvas, cinemática inversa em robótica), TIR em finanças, otimização em machine learning (passos de Newton e variantes quasi-Newton) e computação gráfica (ray marching, distance fields). É o root-finder padrão quando se tem derivada disponível barato.

Perguntas frequentes

E se Newton divergir? Encurrale a raiz antes com bisseção e depois troque para Newton quando estiver perto — é a ideia por trás do método de Brent.

Como parar? Testes usuais: |x_{n+1} − x_n| < tol, |f(x_n)| < tol ou um limite de iterações (50 costuma sobrar graças à convergência quadrática).

E se eu não tiver f'? Use o método da secante (estima f' a partir dos dois últimos iterados) — convergência superlinear (~1,618) sem precisar de derivada; ou autodiff se você tem o código-fonte de f.