Método da Bisseção

Como o método da bisseção acha raízes

Pegue uma função contínua f num intervalo [a, b] em que f(a) · f(b) < 0. Essa mudança de sinal é o que importa: pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos uma raiz ali dentro. Daí o método só vai testando o ponto médio c = (a + b) / 2. Se f(c) · f(a) < 0, a raiz está em [a, c] e você faz b = c; se não, faz a = c. A cada passo metade do intervalo é descartada.

A convergência é linear, ou seja, o erro depois de n iterações fica abaixo de (b − a) / 2^n. Em x² − 2 = 0 sobre [1, 2], os pontos médios saem como 1,5; depois 1,25 (que o teste de sinal descarta ao mover o bracket); depois 1,375; 1,4375; e por aí vai. Por volta de 20 iterações já trazem seis dígitos decimais corretos de √2 ≈ 1,41421356. É verdade que a bisseção perde para Newton em velocidade (convergência quadrática), mas em compensação ela nunca precisa de f' e tem convergência garantida no papel desde que o bracket inicial seja válido.

Onde a bisseção aparece na prática

Ela vale a pena sempre que a derivada não existe, é instável ou sai cara de calcular. Também funciona bem como fallback dentro de métodos híbridos, onde o método de Brent junta bisseção com secante e quadrática inversa para ganhar segurança sem abrir mão da velocidade. Você a encontra no controle de processos industriais e no ajuste de PID, no cálculo de volatilidade implícita em precificação de opções, em variantes de busca binária dentro de algoritmos e nas curvas de calibração de instrumentação.

Perguntas frequentes

E se f(a) · f(b) > 0? Aí o método não tem por onde começar, porque não há mudança de sinal garantida no intervalo. Talvez não exista raiz, talvez existam raízes em número par, ou talvez você só tenha escolhido o intervalo errado. Esboçar o gráfico de f antes é o jeito mais fácil de achar bons brackets.

Quantas iterações são necessárias? Chegar à tolerância ε custa n ≥ log₂((b − a) / ε) passos. Num intervalo unitário com ε = 10⁻⁶, dá 20 iterações, e a função em si não muda esse número.

Por que usar bisseção em vez de Newton? Newton converge mais rápido (quadrático contra linear), só que também pode divergir, oscilar ou travar quando esbarra em f'(x) = 0. A bisseção abre mão dessa velocidade por uma garantia que nunca falha, e isso é justamente o que você quer quando confiabilidade pesa mais do que o número de iterações.