Área do Polígono Regular

Fórmula

A = (n × l²) / (4 × tan(π/n)),   válida para qualquer n ≥ 3.

Área do polígono regular

Num polígono regular os N lados têm todos o mesmo comprimento L, e os N ângulos internos também são iguais entre si. A área sai de A = (N·L²) / (4·tan(π/N)), e o mesmo valor cai de A = (1/2)·N·L·a, onde a é o apótema, a distância do centro até o meio de um lado. Coloque N = 5 e L = 10 m e você chega a A = (5·100) / (4·tan(36°)) ≈ 172,05 m².

Cada ângulo interno mede (N−2)·180°/N e todos juntos somam (N−2)·180°. Acrescente lados e a forma fica mais arredondada; com N alto o suficiente, a área se aproxima de π·r², a área do círculo do qual ela vai se aproximando. Quando o polígono é irregular, nada disso ajuda, então recorra à fórmula do shoelace (Gauss) A = (1/2)|Σ(x_i·y_{i+1} − x_{i+1}·y_i)| aplicada aos vértices em ordem.

Aplicações

Você encontra polígonos regulares na arquitetura (o Pentágono, torres octogonais) e no desenho de moedas: as moedas britânicas de 20 e 50 pence são heptagonais e, como a largura é a mesma em qualquer direção, as máquinas de venda automática continuam reconhecendo-as. Eles aparecem no ladrilhamento de pisos e telhados, onde triângulos, quadrados e hexágonos cobrem o plano cada um por conta própria, e na robótica, onde envolver os obstáculos em polígonos mantém o planejamento de trajetórias administrável.

Perguntas frequentes

Quais polígonos regulares pavimentam o plano? Três deles, e só três: o triângulo equilátero (N=3), o quadrado (N=4) e o hexágono regular (N=6). Funcionam porque seus ângulos internos dividem 360° sem deixar sobra.

O que é o apótema? Meça em linha reta do centro do polígono até o meio de qualquer lado e essa distância é o apótema: a = L / (2·tan(π/N)). Ele coincide com o raio do círculo inscrito.

Como se calcula o perímetro? Basta multiplicar o número de lados pelo comprimento deles: P = N·L. Um pentágono com L = 10 fica com P = 50 m.

Por que a área tende a π·r² quando N cresce? Inscreva o polígono num círculo de raio r e veja o que acontece ao acrescentar lados: ele deixa cada vez menos do disco descoberto, até que polígono e círculo acabam sendo a mesma forma.