Calculadora de área de polígono Shoelace
Calcula a área de um polígono simples a partir dos vértices usando a fórmula do cadarço de Gauss.
—
Área de polígono por vértices — fórmula do cadarço
Passe à fórmula do cadarço (você também vai encontrá-la como fórmula de Gauss) as coordenadas dos vértices de um polígono na ordem certa e ela devolve a área: A = ½·|Σᵢ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|, com índices módulo n. Pode ser convexo ou côncavo, tanto faz, contanto que as arestas nunca se cruzem. Largue o módulo e a soma com sinal ainda revela a orientação: um número positivo indica vértices em sentido anti-horário, um negativo, sentido horário. Pegue o retângulo (0,0), (4,0), (4,3), (0,3): A = ½·|(0·0−4·0) + (4·3−4·0) + (4·3−0·3) + (0·0−0·3)| = ½·|0 + 12 + 12 + 0| = 12.
Aplicações
É o que está por trás das áreas calculadas em ferramentas GIS como QGIS e ArcGIS, seja para medir imóveis georreferenciados, bacias hidrográficas, zonas de conservação ou manchas urbanas. No Brasil, o sistema SIGEF do INCRA se apoia na mesma matemática do tipo shoelace para validar a área de imóveis rurais nas certificações georreferenciadas. Ela também mora dentro de softwares CAD (AutoCAD, BricsCAD), extraindo áreas de polígonos a partir de listas de vértices; no desenvolvimento de jogos, onde polígonos de colisão e visibilidade dependem dela; e na geometria computacional, em rotinas de envoltória e triangulação.
Perguntas frequentes
Funciona para polígonos côncavos? Funciona, para qualquer polígono simples (arestas que não se cruzam), inclusive os côncavos. Quando as arestas começam a se cruzar, o que volta é uma soma algébrica de áreas com sinal, e não a área geométrica.
A ordem dos vértices importa? Importa. Liste-os como se você percorresse o perímetro, todos em sentido horário ou todos anti-horário. Embaralhe essa ordem e o número que sai não significa nada.
O que significa o sinal do resultado sem módulo? Soma positiva quer dizer vértices anti-horários; negativa, horários. O GIS usa isso para padronizar a orientação, por exemplo CCW para anéis externos e CW para furos em shapefiles.
Fecha o polígono automaticamente? Sim. O módulo nos índices liga o último vértice de volta ao primeiro, então não há por que repetir o ponto inicial no final.
Ferramentas Relacionadas
Calculadora de Área por Shoelace
Calcula a área de um polígono simples (não auto-interseccionando) pela fórmula do cadarço (Shoelace) dados vértices (x,y).
Área do Pentágono Regular
Calcule a área de um pentágono regular a partir do lado. Resultado instantâneo no navegador.
Área do Hexágono Regular
Calcule a área de um hexágono regular a partir do lado. Resultado instantâneo no navegador.
Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.