Trajetória de Projétil (alcance)

Trajetória parabólica: equações completas

Um lançamento oblíquo sob gravidade (sem resistência do ar) descreve uma parábola dada pelas equações paramétricas: x(t) = v₀·cos θ·t e y(t) = v₀·sen θ·t − (1/2)·g·t². Eliminando o tempo, obtém-se a forma cartesiana y(x) = x·tg θ − g·x² / (2·v₀²·cos²θ). Sem arrasto, o ângulo que maximiza o alcance horizontal em terreno plano é θ = 45°; com resistência do ar real, o ângulo ótimo cai para cerca de 35° porque o arrasto cresce com v². Exemplo: v₀ = 20 m/s a θ = 45° produz uma parábola que atinge h_max ≈ 10,2 m no meio do caminho, com alcance horizontal ≈ 40,8 m e tempo total de voo ≈ 2,9 s. A trajetória só é simétrica em relação ao ápice quando as alturas de lançamento e pouso são iguais.

Aplicações

Balística esportiva (chute a gol no futebol, lançamento de dardo e peso, arco de arremesso no basquete), jogos com física (Angry Birds, Worms, Scorched Earth), defesa (artilharia, tabelas de morteiro), aeronáutica (lançamento de bombas, cálculos de queda) e simuladores educacionais de física e biomecânica.

Perguntas frequentes

Por que a trajetória é uma parábola? Porque a velocidade horizontal é constante e a posição vertical é quadrática em t (movimento uniformemente acelerado). Eliminando t entre as duas equações, obtém-se um polinômio de grau 2 em x.

A massa afeta a trajetória? No vácuo, não — a gravidade acelera todo corpo igualmente. Com arrasto do ar, objetos mais pesados de mesma forma desaceleram menos e vão mais longe.

Como a altura inicial (h₀ > 0) muda o resultado? Uma altura de partida não nula torna a parábola assimétrica: a descida é mais longa que a subida e o ângulo ótimo para alcance máximo cai abaixo de 45°.