Distribuição Normal (PDF e CDF)
Calcula a função densidade f(x) e a função de distribuição acumulada P(X ≤ x) da Normal(μ, σ).
PDF da Normal: a densidade gaussiana
A função densidade de probabilidade (PDF) da normal (gaussiana) é a fórmula por trás da conhecida curva em sino simétrica: f(x) = (1 / (σ√(2π)))·e^(−(x − μ)² / (2σ²)). O ápice cai sobre a média μ, e o quão larga ela se espalha depende do desvio padrão σ. Um ponto que costuma confundir: a PDF devolve densidade, não probabilidade. Para obter uma probabilidade de verdade você precisa da área sob a curva (a CDF), que não tem forma fechada elementar e acaba calculada pela função erro erf. Padronizar com Z = (X − μ)/σ transforma qualquer normal na normal padrão N(0, 1). E há a prática regra 68-95-99,7: cerca de 68% da massa fica dentro de 1σ da média, 95% dentro de 2σ e 99,7% dentro de 3σ. Como exemplo, para μ = 0, σ = 1, x = 1,96, f(x) ≈ 0,0584.
Aplicações
Ela aparece em medidas biométricas como altura, peso e QI, nos erros de medição em física e engenharia, e em finanças (Black-Scholes assume retornos log-normais). Surge também no controle estatístico de processo, onde o Six Sigma mira em 3,4 defeitos por milhão, e na análise de regressão, já que OLS assume resíduos normais. O motivo mais profundo de tudo isso é o Teorema Central do Limite: some variáveis independentes em quantidade suficiente e o resultado tende à distribuição normal.
Perguntas frequentes
Por que f(x) pode ultrapassar 1? Porque densidade não é a mesma coisa que probabilidade. Um σ pequeno deixa a curva alta e estreita, então f(x) pode passar de 1 sem problema. O que está limitado a valer 1 é a integral, a área total.
PDF vs CDF — qual a diferença? A PDF informa a densidade num único ponto, enquanto a CDF dá a probabilidade acumulada P(X ≤ x). Dito de outro jeito, a CDF nada mais é que a integral da PDF.
Quando a normal é um ajuste ruim? Sempre que os dados forem assimétricos, como renda ou tempo até falha, ou quando as caudas forem pesadas, como costumam ser os retornos financeiros em crises. Nesses casos, uma log-normal, uma t de Student ou uma distribuição de valor extremo geralmente se ajusta melhor.
O que diz o Teorema Central do Limite? Pegue a média de muitas amostras independentes de qualquer distribuição com variância finita, e essa média converge para uma normal. É justamente essa convergência que faz a gaussiana reaparecer o tempo todo na prática.
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Tabela Z (CDF Normal)
Calcula P(Z ≤ z) e P(|Z| ≤ z) para a distribuição normal padrão. Útil em testes de hipóteses.
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Teste de Kolmogorov-Smirnov (Duas Amostras)
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