Calculadora de superfície de toro de revolução

Área de superfície do toro de revolução

Pegue um círculo de raio r (o tubo) e gire-o em torno de um eixo externo, posicionado a distância R do centro desse círculo. O resultado é o toro de revolução. O primeiro teorema de Pappus diz que a superfície vale o perímetro da curva geratriz vezes a distância que o centroide percorre, o que dá S = (2π·r) · (2π·R) = 4π²·R·r. Veja num pneu Michelin: o aro 22" coloca R em torno de 0,41 m até o centro do piso e, com o raio do tubo do piso perto de 0,075 m, chega-se a S = 4π²·0,41·0,075 ≈ 1,21 m² por pneu. Os quatro pneus de um carro levam isso a cerca de 4,9 m² de borracha. E se quiser pintar dez pneus para estoque? Aí já são uns 12 m² de tinta.

Aplicações

A engenharia de pneus se apoia nisso, já que a resistência ao rolamento e a área de contato saem da superfície e da geometria do tubo. O mesmo vale para núcleos toroidais de indutor, em que a superfície vezes a seção transversal fixa a área magnética efetiva. Aparece também na fabricação de gaxetas e O-rings, na estimativa da área de parede de tokamaks para o revestimento do first-wall do ITER e em coberturas arquitetônicas em anel. A sede do Apple Park, por exemplo, é quase um toro.

Perguntas frequentes

Por que o teorema de Pappus funciona? Cada arco infinitesimal de comprimento ds do círculo gerador varre uma faixa de área ds·(2π·ρ), em que ρ é a distância do arco ao eixo. Integre ao longo de toda a curva e o que sobra é perímetro × (2π × distância do centroide). No caso de um círculo, isso fica 2πr · 2πR.

E se R < r? Agora o círculo gerador cruza o eixo e a superfície se dobra sobre si mesma, formando um toro de fuso. Você ainda pode jogar os valores em 4π²·R·r e tirar um número de lá, mas ele para de corresponder à área da superfície externa que de fato se vê.

Como isso difere do volume? O volume sai do segundo teorema de Pappus: pegue a área da região geratriz vezes a distância que o centroide percorre, então V = π·r² · 2π·R = 2π²·R·r².