Normal CDF Φ(z) (aprox)
Aproxima Φ(z) (acumulada da N(0,1)) via erf de Abramowitz-Stegun.
Φ(z)
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CDF da Normal: probabilidade acumulada sob a curva sino
Para Z ~ N(0, 1), a função de distribuição acumulada da normal padrão dá Φ(z) = P(Z ≤ z). Como não existe forma fechada elementar, todo mundo recorre a aproximações numéricas. As opções de praxe são as formas racionais de Abramowitz & Stegun (1964) (erro menor que 10⁻⁷), os polinômios de Hastings ou a identidade da função erro Φ(z) = (1 + erf(z/√2)) / 2. Alguns valores vale a pena guardar: Φ(0) = 0,5 (a mediana), Φ(1) ≈ 0,8413, Φ(1,96) ≈ 0,975 (95% unicaudal), Φ(2,576) ≈ 0,995 (99% unicaudal). A curva é monótona, em forma de S, vai de 0 em −∞ até 1 em +∞, e por simetria Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Aplicações
Aparece em testes de hipótese (valores-p de testes z), intervalos de confiança, simulação de Monte Carlo, modelagem de risco em finanças (VaR), machine learning (inferência bayesiana, processos gaussianos) e controle de qualidade (cálculos de rendimento Six Sigma). No fundo, em qualquer situação em que um z-score precisa virar probabilidade, ou o caminho inverso pela CDF inversa, a função quantil.
Perguntas frequentes
Por que não existe fórmula exata? Porque a integral de e^(−t²/2) não tem antiderivada entre as funções elementares. Daí o uso de séries, aproximações racionais ou integração numérica de erf.
Quão precisa é a aproximação? As formas racionais de Abramowitz & Stegun mantêm o erro absoluto abaixo de 7,5·10⁻⁸, o que sobra para estatística do dia a dia. Engines de precificação financeira às vezes trocam por variantes de maior precisão quando precisam.
Bicaudal vs unicaudal? No caso unicaudal você lê Φ(z) direto. Para o valor-p bicaudal de |Z| ≥ |z|, use 2·(1 − Φ(|z|)).
Como obter z a partir de uma probabilidade? Aí entra a CDF inversa Φ⁻¹(p), conhecida como probit ou função quantil. Costuma ser calculada por Beasley-Springer-Moro ou por aproximações racionais como o AS241 de Wichura.
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