Progressão Geométrica (PG)

O que é Progressão Geométrica?

Uma PG é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão q.

• Termo geral: aₙ = a₁ × q^(n−1)
• Soma (q ≠ 1): Sₙ = a₁ × (q^n − 1) ÷ (q − 1)
• Soma (q = 1): Sₙ = n × a₁

Progressão geométrica: fórmula e exemplo

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão q fixa. O termo geral é aₙ = a₁·q^(n-1). A soma dos n primeiros termos (para q ≠ 1) é Sₙ = a₁·(qⁿ - 1)/(q - 1). Com a₁ = 2, q = 3, n = 5: a₅ = 2·3⁴ = 162 e S₅ = 2·(243 - 1)/2 = 242.

Quando |q| < 1, a soma infinita converge: S∞ = a₁/(1 - q). Exemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 — é assim que se resolve o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, de Zenão: infinitos intervalos cada vez menores somam uma distância finita.

Aplicações

PGs modelam juros compostos (o montante após cada período é uma PG de razão 1+i), depreciação exponencial, decaimento radioativo (meia-vida: razão 1/2 por meia-vida), crescimento populacional malthusiano e fractais como o conjunto de Cantor e o floco de Koch — cujo perímetro é infinito enquanto a área é finita, justamente porque o perímetro é uma PG divergente (q > 1) e a área é convergente. Na música, oitavas formam uma PG de razão 2 e a escala temperada de 12 notas usa razão q = 2^(1/12).

Perguntas frequentes

PG vs PA? Na progressão aritmética cada termo soma uma diferença constante; na PG multiplica por uma razão constante. PAs crescem linearmente, PGs crescem (ou decrescem) exponencialmente.

A razão pode ser negativa? Sim — os termos alternam sinal (ex.: 1, -2, 4, -8, ...). A soma infinita ainda converge se |q| < 1.

E se q = 1? Todos os termos são iguais a a₁ e Sₙ = n·a₁. A fórmula Sₙ = a₁·(qⁿ - 1)/(q - 1) fica indefinida (0/0), então use a multiplicação direta.

Por que S∞ só existe quando |q| < 1? Porque qⁿ → 0 quando n → ∞ apenas se |q| < 1. Se |q| ≥ 1, os termos não diminuem rápido o suficiente e a soma diverge.