Progressão Aritmética (PA)
Calcule o termo geral e a soma de uma Progressão Aritmética. Informe o primeiro termo, a razão e a quantidade de termos.
Último termo (aₙ)
Soma da PA (Sₙ)
Termos da progressão:
O que é Progressão Aritmética?
Numa PA, você tem uma sequência em que a diferença de um termo para o seguinte nunca muda. Essa diferença fixa é a razão r.
- Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) × r
- Soma: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2
Progressão aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo difere do anterior por uma razão constante r. O termo geral é aₙ = a₁ + (n - 1)·r e a soma dos n primeiros termos é Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 = n·a₁ + n(n-1)·r/2. Exemplo: para a₁ = 2, r = 3, n = 5, os termos são 2, 5, 8, 11, 14, com a₅ = 14 e S₅ = (2 + 14)·5/2 = 40. A mediana de uma PA finita é o termo central (ou a média dos dois termos centrais quando n é par).
Uma anedota célebre atribui ao jovem Carl Friedrich Gauss (~1786) a soma de 1 + 2 + ... + 100 em poucos segundos: pareando 1+100, 2+99, ..., 50+51, obtêm-se cinquenta pares de soma 101, totalizando 50 · 101 = 5050. Esse truque do pareamento é exatamente a demonstração da fórmula fechada da soma.
Aplicações
PAs aparecem em finanças — a Tabela SAC (sistema de amortização constante) gera uma PA de prestações com amortização fixa e juros decrescentes; a depreciação linear reduz o valor de um ativo por um valor fixo a cada período; parcelas iguais com correção monetária fixa também formam uma PA. Também aparecem ao contar fileiras (pessoas em filas, assentos por nível de estádio) e na progressão de cargas em treinos que aumentam o volume por um valor fixo a cada semana.
Perguntas frequentes
Como encontro r conhecendo dois termos? Use r = (aₘ - aₙ)/(m - n).
O que é uma PA crescente/decrescente/constante? Se r > 0, a PA é crescente; r < 0, decrescente; r = 0, constante (todos os termos iguais).
Diferença para uma progressão geométrica? Numa PA, os termos diferem por um valor constante somado; numa PG, diferem por um valor constante multiplicado (a razão q).
n pode ser não inteiro? Não — n é a posição (1, 2, 3, ...) e deve ser um inteiro positivo.
Calcule uma progressão aritmética (PA)
Numa progressão aritmética, cada termo nasce do anterior somado a um valor fixo chamado razão. É o caso de 2, 5, 8, 11, e assim por diante. A partir dos dados que você informa, a ferramenta calcula tanto o termo geral (qualquer posição da sequência) quanto a soma dos termos.
Basta indicar o primeiro termo, a razão e quantos termos você quer; as fórmulas da PA são aplicadas em seguida. Serve para resolver exercícios de matemática, compreender sequências, somar valores que cresceriam demais no papel ou conferir um problema antes da prova.
O processamento acontece dentro do navegador. Uma referência direta para a PA: termo geral e soma resolvidos, sem você precisar adicionar valor por valor.
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Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.