Momento de Inércia de Esfera

Momento de inércia da esfera: maciça (2/5)·M·R² vs oca (2/3)·M·R²

Para uma esfera maciça girando em torno de um diâmetro: I = (2/5)·M·R². Para uma esfera oca fina (casca esférica): I = (2/3)·M·R². A esfera oca tem I maior para os mesmos M e R porque sua massa fica mais longe do eixo — e I cresce com r². Exemplo: uma esfera maciça de 5 kg e 0,2 m tem I = (2/5)·5·0,04 = 0,08 kg·m²; a mesma esfera oca tem 0,133 kg·m². A Terra tem I ≈ 0,33·M·R² (menor que o uniforme 0,4), revelando núcleo denso de ferro-níquel. Numa rampa, a esfera oca chega depois da maciça porque mais energia vai para rotação; ambas perdem para o cilindro maciço (I = (1/2)·M·R²) porque (2/5) < (1/2). Para um eixo deslocado d do centro, vale o teorema dos eixos paralelos I = I_cm + M·d².

Aplicações

Ciência planetária (I/MR² ≈ 0,33 da Terra indica distribuição interna de massa), corridas de rolamento em rampas, giroscópios e navegação inercial, rolamentos de esferas e modelos atômicos simples. Usado em olimpíadas de física, engenharia mecânica e análise de estabilidade aeroespacial.

Perguntas frequentes

Por que a esfera oca perde a corrida de rolamento? I maior significa mais energia cinética rotacional por unidade de energia de translação, então menos da energia potencial liberada vira velocidade linear.

A direção do eixo importa? Não — a esfera é simétrica, então I é o mesmo em torno de qualquer eixo passando pelo centro.

Como calcular I em torno de um eixo fora da esfera? Aplique o teorema dos eixos paralelos: I = I_cm + M·d², em que d é a distância perpendicular ao centro de massa.