Momento de inércia (esfera sólida)

Momento de inércia da esfera

Gire uma esfera sólida de massa M e raio R em torno de um diâmetro e você chega a I = (2/5)·M·R². Esvazie-a por dentro, virando uma casca esférica fina, e o valor sobe para I = (2/3)·M·R². Coloque M = 5 kg e R = 0,2 m e o caso sólido dá I = 0,4·5·0,04 = 0,08 kg·m². A Terra também é quase esférica, mas seu núcleo é bem mais denso que as camadas externas, então o momento de inércia que de fato medimos fica em I ≈ 0,33·M·R², abaixo de 2/5. Esse abaixamento é a marca da massa se acumulando perto do centro.

Há uma demonstração clássica disso. Solte uma bola sólida e uma oca, de mesma massa e mesmo raio, pela mesma rampa. A oca, com seu I maior, chega por último, porque uma parcela maior da energia dela está presa na rotação em vez de empurrá-la para a frente.

Aplicações: planetas, giroscópios e experimentos de rolamento

Meça o momento de inércia de um planeta e você lê o que há por dentro: os 0,33 da Terra, contra os 0,4 de uma bola uniforme, apontam direto para um núcleo denso, e é nesse tipo de comparação que os geofísicos se apoiam. Giroscópios, rolamentos de esferas, bolas de boliche — o jeito como cada um se comporta ao girar volta sempre ao I. O experimento da bola na rampa aparece de novo e de novo nos laboratórios de física por um bom motivo. O (2/5)MR² da esfera sólida prevê uma aceleração de a = (5/7)·g·senθ, um tanto menor que a da esfera oca em (2/3), e um cronômetro já basta para distinguir as duas.

Perguntas frequentes

Por que (2/3) é maior que (2/5)? Cada pedacinho da casca oca está lá fora, no raio R. Já a esfera sólida espalha sua massa por toda a faixa de 0 a R, o que puxa para baixo o peso médio r² em I = ∫r² dm.

Qual o coeficiente de momento de inércia da Terra? O rastreamento de satélites o coloca por volta de 0,3307·M·R². Fica aquém de 0,4 porque o núcleo de ferro concentra muito mais densidade do que o manto ao redor.

I depende do eixo? Numa esfera uniforme, não: pela simetria total, qualquer eixo que você trace pelo centro entrega o mesmo I. Quando o corpo deixa de ser esférico ou passa a ser estratificado, isso já não vale.

Qual rola mais rápido, sólida ou oca? A sólida. Ela carrega menos I por kg·R², então mais da energia potencial gravitacional acaba como EC translacional em vez de rotação.