Calculadora de MDC
Calcule o Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais números pelo algoritmo de Euclides. Resultado instantâneo no navegador.
O que é o MDC?
Chamamos de Máximo Divisor Comum (MDC) o maior número que divide exatamente dois ou mais inteiros. Para encontrá-lo usa-se o algoritmo de Euclides: divide-se o maior pelo menor e repete-se a conta com o divisor e o resto até que o resto chegue a zero.
Veja um exemplo. MDC(12, 8) → 12 = 1×8 + 4 → 8 = 2×4 + 0 → MDC = 4.
Máximo divisor comum e o algoritmo de Euclides
O máximo divisor comum mdc(a, b) é o maior inteiro positivo que divide tanto a quanto b com resto zero. O algoritmo de Euclides calcula o valor de forma eficiente pela identidade mdc(a, b) = mdc(b, a mod b), repetida até b = 0 — quando a resposta é a. Exemplo: mdc(48, 18) → mdc(18, 12) → mdc(12, 6) → mdc(6, 0) = 6. O procedimento aparece nos Elementos de Euclides (Livro VII, c. 300 a.C.) e tem complexidade O(log min(a, b)) — bem mais rápido que fatorar os dois números, que é O(raiz n).
Uma identidade útil conecta MDC e MMC: a · b = mdc(a, b) · mmc(a, b). Dois inteiros são coprimos (primos entre si) quando o MDC é 1.
Onde o MDC aparece
- Simplificar frações para a forma irredutível:
18/48 = 3/8ao dividir ambos por mdc = 6. - Criptografia RSA usa o algoritmo de Euclides estendido para calcular o inverso modular do expoente público.
- Partição de quantidades em grupos iguais (ex.: maior ladrilho que pavimenta um piso retangular sem cortes).
- Equações diofantinas
ax + by = ctêm solução inteira se e somente semdc(a, b) | c.
Perguntas frequentes
Por que preferir Euclides a fatorar os dois números? Euclides roda em O(log min(a, b)); fatoração por divisões sucessivas é O(raiz n). Para números de 20 dígitos, Euclides termina em microssegundos enquanto fatorar pode levar segundos ou minutos.
Quanto é mdc(0, n)? Por convenção mdc(0, n) = n para qualquer n positivo, já que todo inteiro divide 0.
Como estender o MDC para mais de dois números? Aplica-se par a par: mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c). A operação é associativa.
O MDC pode ser negativo? Não — por definição é o maior divisor positivo. Sinais negativos nos números de entrada são descartados.
Calcule o MDC (máximo divisor comum)
O máximo divisor comum é o maior número que divide dois ou mais valores ao mesmo tempo. Ele aparece como base para simplificar frações e em muitos problemas de matemática. Esta calculadora chega no MDC pelo algoritmo de Euclides, que é eficiente e exato.
Informe dois ou mais números e o MDC sai em seguida. Serve para reduzir frações à forma irredutível, dividir quantidades em grupos iguais, resolver exercícios da escola ou qualquer situação em que você precise do maior fator comum entre os valores.
Em vez de fazer a decomposição no papel, a conta corre direto no navegador. Uma referência rápida para uma das operações mais básicas da aritmética.
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