Equação do 3º Grau (Cardano)
Resolve a equação cúbica ax³+bx²+cx+d=0 pelo método de Cardano (fórmula fechada). Mostra raízes reais e complexas.
Equação do 3º grau: ax³ + bx² + cx + d = 0
Uma equação cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 tem sempre ao menos uma raiz real, e pode chegar a três. A solução em forma fechada é a fórmula de Cardano, que saiu na Ars Magna (1545). O primeiro passo é reduzir a cúbica à forma deprimida t³ + pt + q = 0, substituindo x = t − b/(3a). Daí em diante, t = ∛(−q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(−q/2 − √(q²/4 + p³/27)). A história por trás disso é meio sórdida. Tartaglia descobriu o método, passou-o a Cardano sob juramento de sigilo, e Cardano publicou assim mesmo. E tem a parte estranha: quando o discriminante Δ = q²/4 + p³/27 fica negativo (o casus irreducibilis), as três raízes reais não há como escrever sem recorrer a raízes quadradas de números negativos. Foi isso que empurrou os matemáticos para o primeiro contato sério com os números imaginários, que Bombelli viria a organizar em 1572.
Aplicações
As cúbicas aparecem na cinética química (reações de terceira ordem), na mecânica dos sólidos (problemas de energia de deformação e estabilidade), no processamento de sinais (funções de transferência cúbicas em filtros), na eletrônica (oscilador de van der Pol e outras não-linearidades cúbicas) e na termodinâmica (equações de estado cúbicas como a de van der Waals). Também caem em prova: o ENEM e os vestibulares costumam pedir uma cúbica que fatora bem pelas raízes racionais.
Perguntas frequentes
Uma cúbica pode não ter raízes reais? Não. Toda cúbica com coeficientes reais tem ao menos uma raiz real, porque a função é contínua e dispara para ±∞ nas pontas, então precisa cruzar o zero em algum ponto.
O que é o casus irreducibilis? É a situação em que a cúbica tem três raízes reais distintas, mas a fórmula de Cardano só consegue escrevê-las com números complexos. Foi, historicamente, o primeiro sinal de que os números imaginários eram inevitáveis, mesmo quando as respostas em si eram bem reais.
Alternativa mais fácil para provas? Recorra ao teorema das raízes racionais. Teste os divisores inteiros de d/a e, quando achar um que funciona, divida por (x − raiz) para baixar o problema a uma equação do 2º grau.
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