Raízes Cúbica (Cardano)

Raízes da cúbica pelo método de Cardano

Toda equação cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 chega à forma deprimida t³ + pt + q = 0 assim que aplicamos a substituição x = t - b/(3a), que apaga o termo quadrático. Dali, a fórmula de Cardano (Ars Magna, 1545) entrega uma raiz real: t = ∛(-q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(-q/2 - √(q²/4 + p³/27)).

Exemplo: tome t³ - 6t + 4 = 0, com p = -6 e q = 4. Aí q²/4 + p³/27 = 4 - 8 = -4 < 0. Esse valor negativo sinaliza o casus irreducibilis, o caso espinhoso em que três raízes perfeitamente reais saem das raízes cúbicas de números complexos. Foi Bombelli (1572) quem primeiro operou formalmente com números imaginários para atravessá-lo.

Aplicações

Cúbicas surgem mais vezes do que se imagina. Elas aparecem na cinética química (concentrações de equilíbrio em reações de terceira ordem), na mecânica dos sólidos (autovalores de tensores de tensão 3×3 e polinômios característicos), no processamento de sinais (filtros IIR cúbicos), nas equações de estado da termodinâmica (van der Waals) e na computação gráfica (curvas de Bézier cúbicas).

Perguntas frequentes

O que é a forma deprimida? Elimine o termo quadrático com x = t - b/(3a) e sobra t³ + pt + q = 0. É esse formato que a fórmula de Cardano resolve de frente.

O que é o casus irreducibilis? É o que ocorre quando q²/4 + p³/27 < 0. A cúbica continua tendo três raízes reais distintas, mas a fórmula radical dá uma volta pelos números complexos para encontrá-las, e por isso a maioria prefere recorrer à forma trigonométrica.

Como encontrar as outras duas raízes? Tendo uma raiz r em mãos, divida o polinômio por (x - r). O que resta é uma quadrática, e resolvê-la entrega as duas restantes.

Por que a fórmula leva o nome de Cardano? Porque foi ele quem a colocou impressa, na Ars Magna (1545). A história é mais confusa do que o nome sugere: Tartaglia havia lhe passado o método em confiança, e del Ferro já tinha resolvido um caso parcial antes disso.