Volume e Superfície de Toroide
Calcula volume V = 2π²·R·r² e superfície S = 4π²·R·r de um toroide, onde R é o raio maior e r o menor.
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Volume e superfície do toroide
Pegue um círculo de raio r (o "tubo") e gire-o em torno de um eixo que fica a distância R do centro do tubo, com R > r. A superfície varrida é um toroide. O volume e a superfície saem direto dos teoremas do centroide de Pappus: V = 2π²·R·r² e S = 4π²·R·r. Em outras palavras, basta pegar a área ou a circunferência do disco e multiplicar pela circunferência 2πR que o centroide percorre ao dar a volta. Para R = 10 e r = 3, isso dá V = 2π²·10·9 = 180π² ≈ 1776,53 e S = 4π²·10·3 = 120π² ≈ 1184,35.
Aplicações
Você esbarra na forma o tempo todo. Os exemplos óbvios são pneus, rosquinhas (donuts) e boias salva-vidas. Os menos óbvios: as câmaras de reatores tokamak de fusão como ITER e JET, onde o confinamento magnético sai toroidal por natureza, e as bobinas indutoras toroidais de filtros EMC, em que o circuito magnético fechado segura os campos parasitas em níveis bem baixos. Juntas de vedação em anel são mais um caso. E, na topologia, o toroide é a superfície padrão de gênero 1, que nada mais é que uma esfera com uma alça.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre R e r? R é o raio maior, medido do centro do toroide até o centro do tubo. r é o raio menor, que é simplesmente o raio do próprio tubo.
E se R = r? Aí você tem um toroide de chifre (horn), em que o furo central encolhe até virar um único ponto. Force mais, de modo que R < r, e o resultado é um toroide de fuso (spindle): a superfície se cruza, e nesse ponto as fórmulas acima param de fornecer o volume real da região sólida.
Por que núcleos de indutor são toroidais? O fluxo magnético fica num circuito fechado dentro do anel, então quase nenhuma interferência eletromagnética vaza para fora. Isso conta em equipamentos de áudio, circuitos de RF e fontes chaveadas.
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