Calculadora de produto vetorial em 3D
Calcula o produto vetorial de dois vetores em R3 a partir de suas componentes em uma unica linha.
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Produto vetorial u × v em 3D
O produto vetorial de u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) sai como u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁). O resultado fica perpendicular ao plano que u e v geram, e seu módulo |u × v| = |u|·|v|·sen θ bate com a área do paralelogramo que eles formam. Para onde ele aponta? Use a regra da mão direita: feche os dedos de u em direção a v e o polegar cai em u × v. Veja um caso: (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1), o conhecido x̂ × ŷ = ẑ. A operação é anti-comutativa e zera sempre que u e v ficam paralelos.
Aplicações
A mecânica recorre a ele para o torque τ = r × F e o momento angular L = r × p, e o eletromagnetismo o usa na força de Lorentz sobre uma carga em movimento F = qv × B. Na computação gráfica 3D, ele monta as normais a superfícies a partir de dois vetores das arestas para que iluminação e sombreamento funcionem. Também devolve a área de triângulo A = ½|u × v| e permite testar se três pontos são colineares.
Perguntas frequentes
Por que o produto vetorial é um vetor e o escalar é um número? O vetorial carrega duas informações de uma vez, uma magnitude que é a área e uma orientação no espaço ao longo da direção perpendicular. O escalar só mede projeção, então um único número dá conta.
O que significa u × v = 0? Uma de duas coisas: ou um dos vetores é nulo, ou u e v são paralelos, com sen θ = 0. Pelo mesmo motivo, um vetor multiplicado por ele mesmo, u × u, dá sempre 0.
Existe u × v em 2D? Como vetor, não. O que você obtém em 2D é o escalar u₁v₂ - u₂v₁, que é a área orientada do paralelogramo.
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