Calculadora de projeção de vetor sobre vetor

Projeção de um vetor sobre outro

A projeção vetorial de u sobre v é o vetor que aponta na direção de v e fica mais perto de u: projv(u) = (u · v / |v|²) · v. Aquele escalar lá na frente, u · v / |v|², é o que reescala v. Se em vez disso você multiplicá-lo por |v|, chega na projeção escalar, o comprimento com sinal da sombra, compv(u) = u · v / |v|. O que sobra, u − projv(u), é a parte de u que corre ortogonal a v, e é nessa decomposição ortogonal que o processo de Gram–Schmidt se apoia. Veja com u = (3, 4, 5), v = (1, 0, 0): u · v = 3 e |v|² = 1, então proj_v(u) = 3·(1, 0, 0) = (3, 0, 0), sobrando um resíduo ortogonal de (0, 4, 5).

Aplicações

Ela aparece em todo canto. Na física, você a usa para separar uma força em parte paralela e parte perpendicular a um plano inclinado, como a gravidade agindo sobre uma rampa. O machine learning recorre a ela na ortogonalização de Gram–Schmidt, na decomposição QR e no branqueamento de PCA. A computação gráfica precisa dela para vetores de reflexão e sombra (r = u − 2·projn(u)). No processamento de sinais é assim que se projeta sobre uma base para obter os coeficientes de Fourier, e na robótica ela extrai a componente de velocidade que segue a direção do movimento.

Perguntas frequentes

E se v for o vetor nulo? Aí |v|² = 0 e a fórmula deixa de fazer sentido. Não existe direção nenhuma sobre a qual projetar, então a entrada deve ser tratada como inválida.

Projeção vetorial vs projeção escalar — o que muda? A vetorial devolve um vetor ao longo de v, enquanto a escalar devolve só o módulo com sinal. As duas se ligam por proj_v(u) = comp_v(u) · (v/|v|).

Por que às vezes o resultado aponta no sentido oposto a v? Sempre que u · v < 0, o ângulo entre u e v é obtuso, e a projeção acaba apontando para o lado contrário ao de v. É o sinal do produto escalar que define a orientação.