Produto Vetorial 3D (Cross)

Produto vetorial u × v em 3D

O produto vetorial de dois vetores 3D u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é o vetor u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁). O resultado é perpendicular ao plano gerado por u e v, e seu módulo |u × v| = |u|·|v|·sen θ é a área do paralelogramo formado pelos dois vetores. A direção segue a regra da mão direita: aponte os dedos de u para v e o polegar mostra u × v. Exemplo: (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1) — o clássico x̂ × ŷ = ẑ. Propriedades: anti-comutativo u × v = -(v × u); se u e v são paralelos, u × v = 0; distributivo sobre a soma. Diferente do produto escalar, o produto vetorial só é definido em 3D (e em 7D como curiosidade).

Aplicações

Torque τ = r × F em mecânica, momento angular L = r × p, força magnética sobre uma carga F = qv × B (força de Lorentz), cálculo de normais a superfícies a partir de dois vetores das arestas para iluminação em computação gráfica 3D, área de um triângulo A = ½|u × v| e teste de colinearidade de três pontos (produto vetorial de dois vetores das arestas igual a zero).

Perguntas frequentes

Por que o produto vetorial é um vetor e o escalar é um número? Porque o produto vetorial codifica magnitude (área) e orientação no espaço (direção perpendicular), enquanto o escalar só mede projeção — um único número.

O que significa u × v = 0? Ou um dos vetores é nulo ou u e v são paralelos (sen θ = 0). Em particular, u × u = 0 sempre.

Existe u × v em 2D? Não como vetor. O análogo 2D é um escalar u₁v₂ - u₂v₁ (a componente z do produto vetorial 3D), que dá a área orientada do paralelogramo.