Poisson P(X=k)

Poisson P(X = k): função de probabilidade

A distribuição de Poisson diz quão provável é um certo número de eventos independentes cair dentro de um intervalo fixo (um trecho de tempo, uma área, um volume) quando esses eventos surgem a uma taxa média constante λ. A fórmula é P(X = k) = e^(−λ)·λ^k / k!. Tem um detalhe que vale guardar e a separa da maioria das distribuições: média e variância são ambas iguais a λ. Quando n é grande e p é pequeno, ela ainda faz as vezes da binomial(n, p), com λ = n·p. Pense num call center que recebe em média 3 ligações por minuto. Qual a chance de exatamente 5 ligações num dado minuto? Dá e^(−3)·3^5 / 120 ≈ 0,1008, perto de 10%.

Aplicações

Aparece na teoria de filas (o modelo M/M/1 em call center e telecom), no decaimento radioativo e na contagem de defeitos por unidade numa linha de produção. Também serve para gols por partida de futebol e mutações por gene em genômica. E tem o velho estudo de Bortkiewicz (1898), que contou mortes por coice de cavalo no exército prussiano e virou exemplo de manual até hoje.

Perguntas frequentes

Quando Poisson substitui a binomial? Quando n é grande (n > 50) e p é pequeno (p < 0,1), de modo que λ = n·p fique moderado. A aproximação melhora à medida que n cresce.

Por que média deve ser igual à variância? É propriedade estrutural. Se a variância amostral é muito maior que a média (superdispersão), Poisson é o modelo errado — considere a binomial negativa.

k pode ser não inteiro? Não. Poisson conta eventos discretos: k ∈ {0, 1, 2, …}. Para tempos contínuos de espera entre eventos, use a distribuição exponencial.

E se k for muito maior que λ? As probabilidades decaem rapidamente na cauda. Para k ≫ λ o resultado é minúsculo, mas nunca zero — toda contagem é possível em princípio.