Calculadora de distribuição de Poisson probabilidade

Distribuição de Poisson: probabilidade de exatamente k eventos

A distribuição de Poisson diz qual a probabilidade de você ver exatamente k eventos num intervalo fixo, supondo que esses eventos sejam independentes e aconteçam a uma taxa média constante λ. A fórmula é P(X = k) = e^(−λ)·λ^k / k!. Uma característica que a distingue: média e variância são ambas iguais a λ. A fama veio de Ladislaus Bortkiewicz, que em 1898 a usou para estudar quantos soldados de cavalaria prussiana morriam por ano vítimas de coices de cavalo. Pegue λ = 3 e k = 2: P(X = 2) = e^(−3)·9 / 2 ≈ 0,224, ou seja, cerca de 22,4% de chance de exatamente 2 eventos. E quando n cresce rumo ao infinito enquanto p encolhe rumo a zero com n·p = λ, a binomial desaba na Poisson, e é por isso que ela serve tão bem a eventos raros em grandes populações.

Aplicações

Ela aparece por trás de modelos de fila como M/M/1 em call center e redes de pacotes. Surge na contagem de decaimento radioativo, na contagem de defeitos por unidade no controle de qualidade da manufatura, no jeito como os clientes vão pingando no varejo, na contagem de mutações em genômica e até nos gols por partida de futebol (algo perto de 1,5 por equipe na Premier League).

Perguntas frequentes

O que é k!? É o fatorial: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24. Se um dia precisar dele para argumentos não inteiros, a função gama assume o lugar, mas aqui o k tem que ser um inteiro não negativo.

E se a variância for muito maior que a média? Aí seus dados estão superdispersos e Poisson não é o modelo certo. Recorra à binomial negativa, que carrega um parâmetro de dispersão a mais.

Probabilidade acumulada? Vá somando os termos individuais: P(X ≤ k) = Σ P(X = i) para i = 0..k. Quando λ fica grande, a aproximação normal N(λ, λ) resolve.

Como estimo λ? O estimador de máxima verossimilhança acaba sendo nada mais que a média amostral: λ̂ = x̄.