Opção com Salto-Difusão (Merton)

Na véspera da divulgação de resultados, o operador sabe que o papel pode abrir com um gap — para cima ou para baixo — e que o Black-Scholes clássico, com sua trajetória browniana contínua, atribui probabilidade zero a esse pulo. Esta calculadora precifica uma call europeia no modelo de salto-difusão de Merton (1976), que soma saltos aleatórios à difusão usual. Serve para quem precisa de um prêmio que respeite caudas gordas e descontinuidades: anúncios, decisões de juros, choques de crédito. É a ferramenta certa quando o sorriso de volatilidade está acentuado e a difusão pura subprecifica as asas.

A matemática parte de uma identidade limpa. Condicionado a exatamente n saltos no período, o valor da opção é uma fórmula de Black-Scholes com variância e drift ajustados; o preço final é a média dessas fórmulas, ponderada pela probabilidade de Poisson de ocorrerem n saltos. Cada salto é lognormal — você informa a média e o desvio do logaritmo do salto — e a variância do termo n vira σ² + nδ²/T. A intensidade λ é o número esperado de saltos por ano. Vale registrar uma hipótese forte: Merton supõe que o risco de salto é diversificável e por isso não cobra prêmio por ele, e λ é constante — nada de intensidade que dispara em regime de crise nem de saltos correlacionados.

Preencha o spot, o strike, o prazo em anos, a taxa livre de risco e a volatilidade da difusão; em seguida informe λ, a média μ e o desvio δ do log do salto. A saída é o prêmio da call europeia, em unidades de preço. Para conferir, zere λ: sem saltos, a soma colapsa no primeiro termo e você recupera exatamente o preço de Black-Scholes — qualquer divergência aí denuncia erro de entrada. Afastar μ de zero ou aumentar δ engorda as caudas e, em geral, encarece a opção.