Verificador de Números Narcisistas/Armstrong

Números narcisistas (Armstrong) explicados

Um número narcisista é igual à soma dos seus próprios dígitos quando cada um deles é elevado à potência da quantidade total de dígitos. Você também vai encontrá-los como números de Armstrong, em referência a Michael F. Armstrong, que os usou num curso de programação. Os nomes mais técnicos são invariantes digitais perfeitos (PPDI) ou invariantes digitais pluperfeitos. E o apelido "narcisista"? Vem da ideia de que o número se reconstrói a partir dos próprios dígitos.

Como funciona

Pegue um número de n dígitos, com dígitos d₁ d₂ … dₙ. O teste é d₁ⁿ + d₂ⁿ + … + dₙⁿ = N. Como o expoente acompanha a quantidade de dígitos, a propriedade inteira depende da base em que você está. Cada número de um só dígito 0–9 passa de graça, já que elevar qualquer dígito à potência 1 deixa ele intacto. De dois dígitos, não existe nenhum narcisista. Na base 10 o conjunto acaba sendo finito: são exatamente 88 números narcisistas, e o maior chega a 39 dígitos — 115132219018763992565095597973971522401. Nenhum deles passa de 60 dígitos, porque a partir daí a maior soma de potências que você consegue montar já fica pequena demais para igualar um número de n dígitos. Vale conhecer um primo próximo, os invariantes dígito-a-dígito perfeitos (números de Münchhausen), em que cada dígito é elevado a si mesmo em vez de a n.

Exemplo resolvido

Comece com 153. Tem 3 dígitos, então cada um vai ao cubo: 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153. Bate certinho, e por isso 153 é narcisista. Um exemplo de 4 dígitos é 9474: 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴ = 6561 + 256 + 2401 + 256 = 9474. Agora veja 154, que dá 1³ + 5³ + 4³ = 1 + 125 + 64 = 190 ≠ 154. Não fecha, então fica de fora.

Perguntas frequentes

Por que a ferramenta só lista os "conhecidos" até uma faixa pequena? A listagem por força bruta só continua viável em faixas pequenas. Numa janela de 1 até uns 4,6 bilhões você acha só algumas dezenas. O conjunto completo de 88 números em base 10 alcança gigantes de até 39 dígitos, e nenhuma varredura sobre inteiros pequenos vai chegar lá.

153 e 9474 são os únicos famosos? Longe disso. A lista de 3 dígitos ainda traz 370, 371 e 407, e entre os de 5 dígitos aparecem 54748, 92727 e 93084. Os casos 0, 1 e 2 também contam, embora sejam só invariantes triviais de um dígito.