Determinante Matriz 3×3
Calcule o determinante de uma matriz 3×3 pela regra de Sarrus, informando os nove elementos. Veja o cálculo desenvolvido e o resultado na hora, sem erros.
Determinante
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Determinante 3×3: regra de Sarrus e expansão por cofatores
Pegue uma matriz 3×3 [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]. A regra de Sarrus dá det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi, que são as três diagonais da esquerda para a direita menos as três da direita para a esquerda. O resultado é o mesmo se você fizer a expansão de Laplace pela primeira linha, det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg), somando cada elemento vezes seu cofator 2×2 com sinal. Veja na prática: det([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]]) = 1·(50 - 48) - 2·(40 - 42) + 3·(32 - 35) = 2 + 4 - 9 = -3. Como det ≠ 0, a matriz é invertível. Visto geometricamente, |det| é o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores-linha (ou coluna), e o sinal indica a orientação: positivo preserva a quiralidade, negativo reflete.
Aplicações
Ela aparece ao resolver sistemas lineares 3×3 pela regra de Cramer, ao testar se uma transformação linear 3D (rotação, escala, cisalhamento) é invertível em computação gráfica e robótica, e ao calcular o volume do paralelepípedo V = |det|. É também o jacobiano em integrais triplas quando você muda para coordenadas esféricas ou cilíndricas, e fornece o produto misto por meio de (u × v)·w = det([u, v, w]).
Perguntas frequentes
A regra de Sarrus funciona para matrizes 4×4? Não, ela só serve para 3×3. Quando o tamanho passa de 4×4, você recorre à expansão de Laplace ou, na prática, à eliminação gaussiana (O(n³)).
Por que det = 0 significa que os três vetores são coplanares? O paralelepípedo achata e fica com volume zero, e isso só acontece quando os três vetores estão no mesmo plano, ou seja, são linearmente dependentes.
O determinante é invariante a troca de linhas? Não. Trocar duas linhas inverte o sinal. Multiplicar uma linha por k multiplica det por k. Já somar um múltiplo de uma linha a outra deixa det inalterado.
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