Determinante de Matriz 4×4
Calcula o determinante de uma matriz 4×4 por expansão de Laplace na primeira linha. Útil em álgebra linear.
det = —
Determinante 4×4: expansão de Laplace e eliminação gaussiana
Numa matriz 4×4, pode esquecer a regra de Sarrus: ela só funciona para 3×3. Em vez disso, há dois caminhos padrão. O primeiro é a expansão de Laplace por cofatores. Escolha uma linha ou coluna e calcule det = Σ (-1)^(i+j) · aᵢⱼ · Mᵢⱼ, onde Mᵢⱼ é o menor 3×3 que sobra depois de apagar a linha i e a coluna j. Prefira a linha ou coluna com mais zeros para encurtar a conta. O problema é a complexidade O(n!), que vira um suplício acima de 4×4. O segundo é a eliminação gaussiana com decomposição LU: reduza A à forma triangular superior e então det(A) = ± (produto dos pivôs), com o sinal acompanhando quantas trocas de linha você fez. Isso roda em O(n³) e é o que se usa de fato para matrizes grandes. Vale guardar algumas propriedades: det(AB) = det(A)·det(B), det(Aᵀ) = det(A), trocar duas linhas inverte o sinal, multiplicar uma linha por k escala det por k, e somar múltiplo de uma linha a outra não mexe no det. Para conferir rápido: uma 4×4 diagonal com entradas 2, 3, 1, 5 tem det = 2·3·1·5 = 30.
Aplicações
Determinantes 4×4 aparecem ao resolver sistemas lineares 4×4 pela regra de Cramer, no jacobiano 4D em mudança de variáveis e na análise de estabilidade de sistemas de EDO com quatro variáveis de estado, em que o sinal do determinante do jacobiano no equilíbrio diz tudo. Também surgem na computação gráfica 3D: uma matriz 4×4 homogênea reúne rotação, translação, escala e projeção numa única operação ao longo do pipeline OpenGL/DirectX.
Perguntas frequentes
Posso usar a regra de Sarrus em 4×4? Não. Sarrus é um truque só de 3×3. Para 4×4, recorra à expansão de Laplace ou à eliminação gaussiana.
O que significa det = 0 em uma 4×4? A matriz é singular. Não tem inversa, suas linhas e colunas são linearmente dependentes e o sistema linear associado ou é impossível ou é indeterminado.
Por que matrizes de computação gráfica são 4×4 se o espaço é 3D? É aquela coordenada homogênea a mais que permite escrever a translação como multiplicação de matriz e faz a projeção perspectiva funcionar, duas coisas que uma matriz 3×3 pura não consegue fazer.
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