Calculadora de inversa de matriz 2x2

Inversa 2×2: A⁻¹ = (1/det) · [[d, -b], [-c, a]]

Pegue A = [[a, b], [c, d]] com det(A) = ad - bc. A inversa fica A⁻¹ = (1/det) · [[d, -b], [-c, a]]. Na prática, você troca os elementos da diagonal, inverte o sinal dos da antidiagonal e divide tudo pelo determinante. A matriz é invertível se e somente se det ≠ 0. Quando o determinante zera, A é singular e simplesmente não tem inversa. Veja um exemplo resolvido com A = [[1, 2], [3, 4]]: det = 1·4 - 2·3 = -2, o que dá A⁻¹ = (-1/2) · [[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [1,5, -0,5]]. Para conferir, basta verificar que A · A⁻¹ = I. A inversa desfaz a transformação linear que A aplicou, então ela serve para resolver sistemas Ax = b ⇒ x = A⁻¹b e para rodar transformações geométricas de trás para frente.

Aplicações

Ela aparece quando você resolve um sistema linear 2×2 Ax = b de forma direta, na computação gráfica em que é preciso desfazer uma rotação, escala ou cisalhamento, e sempre que se troca de sistema de coordenadas em 2D. A regressão linear analítica com 2 atributos também depende dela (β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy, a fórmula que o sklearn usa), assim como filtros de Kalman 2D e problemas de física plana envolvendo forças e acelerações.

Perguntas frequentes

E se det = 0? Aí não existe inversa. As duas linhas são linearmente dependentes, ou seja, uma é apenas múltipla da outra, e a matriz esmaga o plano inteiro numa única reta.

Vale (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹? Não. A identidade certa é (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, com a ordem invertida. Vale lembrar de mais duas: (A⁻¹)⁻¹ = A e det(A⁻¹) = 1/det(A).

Resolver Ax = b com a inversa é boa ideia? No caso 2×2, tudo bem. Mas quando as matrizes ficam grandes, calcular A⁻¹ e multiplicar costuma acumular erro, então a eliminação gaussiana ou a decomposição LU se seguram melhor numericamente.