Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes diz como revisar uma crença quando surge uma evidência nova. A fórmula é P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B), onde P(A) é a priori, P(B|A) a verossimilhança e P(A|B) a posteriori. Pense num teste rápido de COVID com 95% de sensibilidade e 95% de especificidade, aplicado numa população em que a prevalência é de 1%. Se o teste dá positivo, a chance de a pessoa realmente estar doente fica perto de 16%, e não de 95%. Como a doença é rara, a maioria dos positivos acaba sendo falso positivo. O resultado costuma soar errado, e é justamente isso que se chama de negligência da taxa-base; é também o motivo pelo qual rastreios em populações de baixa prevalência tendem ao sobre-diagnóstico.

Aplicações

Aparece na medicina, onde a diferença entre sensibilidade e valor preditivo positivo orienta as decisões de rastreio. Os filtros de spam se apoiam nele via Naive Bayes, abordagem que Paul Graham divulgou em "A Plan for Spam", de 2002. Na perícia forense, ajuda a ler corretamente uma evidência de DNA e a evitar a falácia do promotor. Você também o encontra por trás do aprendizado de máquina probabilístico (redes bayesianas, MCMC), na análise de risco, em testes A/B que partem de priors e, no fim das contas, em qualquer decisão tomada sem informação completa.

Perguntas frequentes

Por que um teste de 95% não é 95% preciso? O que sai do teste depende da priori que entra. Com uma doença rara, mesmo uma taxa pequena de falsos positivos gera mais positivos falsos do que verdadeiros, e o valor preditivo positivo despenca.

Como se calcula P(B)? Você obtém pela lei da probabilidade total: P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A). A calculadora cuida desse passo para você.

Qual a diferença para a estatística frequentista? Para o frequentista, os parâmetros são fixos e o que varia são os dados. O bayesiano inverte isso: os parâmetros carregam incerteza e vão sendo refinados com os dados via teorema de Bayes.