Cifra de Hill 2×2

A cifra de Hill costuma aparecer na aula logo depois de matrizes inversas, e o que derruba o exercício quase nunca é a multiplicação. É o módulo: calcular o determinante mod 26, descobrir se ele tem inverso e achar esse inverso à mão. Um sinal trocado no meio do caminho e o texto cifrado sai diferente do gabarito, sem pista de onde a conta escorregou.

O texto é quebrado em pares de letras, cada par vira um vetor (x, y) e é multiplicado pela matriz [[a, b], [c, d]] módulo 26. Com a chave 3, 3, 2, 5, a palavra HELP vira HI AT, e a página mostra det(K) mod 26 = 9 e o inverso 3, porque 9 × 3 = 27, que é 1 módulo 26. A regra que decide tudo: a chave só é invertível se mdc(det, 26) = 1. Como 26 = 2 × 13, determinante par ou múltiplo de 13 inutiliza a chave.

Repare que a ferramenta cifra mesmo quando avisa que a chave não é invertível: sai texto, só não existe volta única. Leia a linha do determinante antes de usar o par no exercício. Ela também não decifra: calcule a inversa, que é det⁻¹ × [[d, −b], [−c, a]] mod 26, e informe essa matriz como chave, porque a operação é a mesma. Se o texto tiver número ímpar de letras, um X de enchimento é acrescentado e aparece no fim quando você decifrar. Tudo é calculado no navegador.