Estimar π por Monte Carlo
Estima π gerando N pontos aleatórios em [-1,1]² e contando quantos caem no círculo unitário (4·acertos/N).
Estimando π por Monte Carlo
Lance n pontos aleatórios uniformemente no quadrado [0,1]² e conte quantos caem dentro do quarto de círculo unitário (x² + y² ≤ 1). Como o quadrante tem área π/4 e o quadrado tem área 1, a razão k/n converge para π/4, então π ≈ 4·k/n. A convergência é lenta — o erro cai com 1/√n. Exemplo: 1.000 pontos → π com erro ~3%; 1.000.000 de pontos → erro ~0,1%. O método foi introduzido por Stanislaw Ulam e John von Neumann em Los Alamos por volta de 1946, para simulações de transporte de nêutrons durante o Projeto Manhattan.
Aplicações
Integração numérica em alta dimensão (única família que escapa da maldição da dimensionalidade), simulação física (transporte de nêutrons, QCD na rede), finanças (precificação de opções via Black-Scholes-Monte-Carlo), aprendizado por reforço (MCTS no AlphaGo / AlphaZero) e inferência bayesiana (MCMC — Markov Chain Monte Carlo).
Perguntas frequentes
Por que a convergência é tão lenta? O erro padrão de um estimador Monte Carlo é σ/√n. Para ganhar uma casa decimal de precisão, são necessárias 100× mais amostras.
Por que usar então? Em alta dimensão, quadraturas determinísticas custam exponencialmente na dimensão; Monte Carlo segue 1/√n independentemente da dimensão — a única opção prática acima de ~6–8 dimensões.
Como reduzir a variância? Importance sampling, amostragem estratificada, variáveis antitéticas, variáveis de controle e quasi-Monte Carlo (Sobol, Halton), que se aproxima de 1/n.
Ferramentas Relacionadas
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