Schrödinger — Níveis em Caixa

Schrödinger poço infinito 1D: ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L)

Ao resolver a equação de Schrödinger independente do tempo −(ℏ²/2m)·ψ'' = E·ψ sob as condições de contorno ψ(0) = ψ(L) = 0, chegamos às autofunções normalizadas ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L), com energias E_n = n²·h²/(8mL²). A densidade de probabilidade |ψ_n(x)|² apresenta n antinós (picos) e n−1 nós internos (zeros). Pegue um elétron em L = 1 nm: E_1 ≈ 0,376 eV, E_2 ≈ 1,50 eV, E_3 ≈ 3,38 eV, ou seja, os níveis crescem como 1 : 4 : 9. Erwin Schrödinger escreveu a equação em 1926 e ganhou o Nobel em 1933. O poço infinito é o estado ligado mais simples que não é trivial, e por isso serve de porta de entrada para átomos, moléculas e sólidos.

Aplicações

Aparece na química quântica (orbitais atômicos e moleculares), na física do estado sólido (modelo tight-binding, estrutura de bandas), na teoria quântica de campos (quantização de modos em cavidade) e na computação quântica (qubits 1D, fios quânticos). E no ensino também, já que costuma ser o primeiro problema que o aluno consegue de fato resolver na mão.

Perguntas frequentes

Por que a probabilidade é zero nas paredes? Fora da caixa o potencial é V = ∞, então ψ precisa zerar em x = 0 e x = L. Se não zerasse, a energia ∫V·|ψ|² iria divergir.

Qual a posição mais provável da partícula? No estado fundamental (n = 1), |ψ_1|² atinge o máximo bem no centro, em x = L/2. Já para n = 2 os picos vão para L/4 e 3L/4, com um nó em L/2.

Isso é realista? Não exatamente; o poço infinito é uma idealização. Sistemas reais como pontos quânticos e átomos têm paredes de altura finita, então as funções de onda vazam para fora (tunelamento), e existe apenas um número finito de estados ligados.