Perímetro de Elipse (Ramanujan)

Perímetro da elipse — aproximação de Ramanujan

O círculo tem uma fórmula de perímetro simples. A elipse não. Ela não tem fórmula fechada elementar para o perímetro, e o valor exato vem da integral elíptica completa de segunda espécie. Na prática, a fórmula que a maioria usa é a primeira aproximação de Ramanujan, de 1914: P ≈ π·[3(a+b) - √((3a+b)(a+3b))], com precisão melhor que 0,01% para quase toda elipse que aparece em engenharia. Há também uma estimativa mais simples, atribuída a Euler, P ≈ π·√(2(a²+b²)), mas ela superestima de forma visível quando a e b ficam muito diferentes. Veja a = 5 e b = 3: Ramanujan dá P ≈ 25,527, enquanto Euler chega a ~25,946, cerca de 1,6% a mais.

Aplicações

As pistas de atletismo são feitas com geometrias ovais, então os comprimentos das raias têm que ser calculados com precisão. As órbitas planetárias e de satélites também são elipses, e o comprimento do caminho orbital entra nos cálculos de combustível e cronograma. No design industrial, tanques ovalados, juntas, molduras e seções de fuselagem aeronáutica precisam de um bom perímetro antes que o material seja cortado.

Perguntas frequentes

Qual a precisão da fórmula de Ramanujan? Melhor que 0,01% para excentricidades abaixo de 0,95. O erro relativo só começa a crescer perto do limite degenerado da elipse achatada.

E se a = b? Aí a elipse é só um círculo, e a fórmula se reduz exatamente a P = 2π·a.

Por que não há forma fechada elementar? A integral do comprimento de arco envolve √(1 - e²·sen²θ), e isso simplesmente não dá para escrever com um número finito de funções elementares. Ela define uma nova função, a "elíptica".