Calculadora de perímetro de elipse Ramanujan II

Perímetro da elipse — segunda aproximação de Ramanujan

Em 1914 Ramanujan também publicou uma segunda aproximação, mais refinada, para o perímetro da elipse: P ≈ π(a + b)·(1 + 3h² / (10 + √(4 − 3h²))), onde h = ((a − b)/(a + b))². A precisão impressiona. O erro relativo fica abaixo de 0,0001% para praticamente qualquer elipse que você vá encontrar, e só começa a piorar perto do limite degenerado da elipse achatada. Isso a deixa bem mais precisa que a primeira fórmula de Ramanujan, e é o que a maioria usa quando precisa de alta precisão mas prefere não calcular a integral elíptica numericamente. Com a = 7 e b = 4, h fica em torno de 0,0735 e P ≈ 35,622.

Aplicações

A balística orbital usa a fórmula para achar o comprimento da trajetória de satélites e sondas interplanetárias, casos em que o cronograma se mede em milissegundos e depende da precisão do perímetro. O projeto de estádios e pistas recorre a perímetros elípticos de alta precisão para escalonar os comprimentos das raias. E no design industrial ovalado, pense em vasos de pressão, faróis automotivos, espelhos ópticos, é a fórmula que permite cortar o material no comprimento certo sem desperdiçar quase nada.

Perguntas frequentes

Como ela se compara à primeira fórmula de Ramanujan? A primeira fica em ~0,01%. Esta corta isso em duas ordens de magnitude, chegando a cerca de ~0,0001% para excentricidades moderadas.

O que representa h? É uma razão adimensional ao quadrado entre a diferença e a soma dos semieixos. Quando h = 0 você tem um círculo perfeito; conforme h → 1, a elipse degenera.

Quando vale usar a integral elíptica exata? Na real, só quando a excentricidade fica muito alta (acima de ~0,99) ou quando você precisa de precisão abaixo de 1 ppm. Para o trabalho de engenharia do dia a dia, Ramanujan II dá conta.