Normal PDF f(x; μ,σ)

PDF da Normal: densidade da curva sino

A função densidade de probabilidade da gaussiana é f(x) = (1 / (σ√(2π)))·e^(−(x − μ)² / (2σ²)). O pico fica na média μ, a curva muda de concavidade em μ ± σ e a integral sobre ℝ dá 1. O que a PDF entrega é densidade, não uma probabilidade direta. Para chegar a uma probabilidade você precisa da área (a integral) debaixo da curva. Quando você padroniza, fica com φ(z) = (1/√(2π))·e^(−z²/2), cujo pico ronda os 0,3989 em z = 0. Um teste rápido: com μ = 0, σ = 1 e x = 1, sai f(1) ≈ 0,2420. E a regra 68-95-99,7 continua valendo, com cerca de 68% da massa em μ ± σ, 95% em μ ± 2σ e 99,7% em μ ± 3σ.

Aplicações

Ela aparece em medidas biométricas como altura e QI, nos erros de medição da física e da engenharia e nas finanças, onde Black-Scholes parte de retornos log-normais. O controle estatístico de processo também recorre a ela, e o Six Sigma mira em 3,4 defeitos por milhão. Na regressão, OLS trata os resíduos como normais, e o mesmo vale para as funções de verossimilhança usadas na estimação por máxima verossimilhança.

Perguntas frequentes

f(x) pode ser maior que 1? Pode. Lembre que densidade não é probabilidade. Assim que σ cai abaixo de 1/√(2π) ≈ 0,399, o pico ultrapassa 1. O que sempre dá 1 é a integral total.

Onde estão os pontos de inflexão? Ficam em μ − σ e μ + σ, justo onde a curvatura troca de sinal. Por isso dá para ler σ direto de uma curva sino desenhada.

PDF vs CDF? A PDF informa a densidade num único ponto. A CDF informa a probabilidade que já se acumulou, P(X ≤ x). Uma é a integral da outra.

Quando a normal falha? Ela se complica com dados assimétricos, como renda ou tempo até falha, e com caudas pesadas do tipo que aparece em crashes financeiros. Nesses casos, recorra a uma log-normal, t de Student ou distribuição generalizada de valor extremo.