Calculadora de norma de vetor 3D

Norma de vetor 3D (módulo euclidiano)

A norma euclidiana (ou norma L2) de um vetor 3D v = (x, y, z) é |v| = √(x² + y² + z²). É o teorema de Pitágoras levado para três dimensões. Se você dividir o vetor pela própria norma, chega ao vetor unitário v̂ = v/|v|, que tem comprimento 1 e aponta na mesma direção de v. Esse passo só funciona quando |v| ≠ 0.

Exemplo: para v = (1, 2, 2), |v| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3, e v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).

Outras normas: a norma L1 (Manhattan) é |x|+|y|+|z| e mede a distância como se você andasse por uma grade. Já a norma L∞ (Chebyshev) é max(|x|, |y|, |z|). Uma diferença que vale notar: a L2 não muda quando você rotaciona o vetor, ao passo que L1 e L∞ mudam.

Aplicações

Normas 3D aparecem em mais lugares do que se imagina. Em CAD e computação gráfica 3D, os vetores normais de superfície são normalizados antes de qualquer cálculo de iluminação. Física e engenharia recorrem a elas para achar a magnitude de uma força ou velocidade. GPS e navegação medem distâncias euclidianas entre coordenadas, e o machine learning usa regularização L1 (lasso) e L2 (ridge) para conter a complexidade do modelo.

Perguntas frequentes

E se o vetor for nulo? A norma dá 0 e não existe vetor unitário, já que um vetor nulo não tem direção.

Quando preferir L1 a L2? Use a L1 quando quiser esparsidade (ela zera coeficientes de forma exata) ou quando outliers forem um problema. A L2, por sua vez, tem a vantagem de ser diferenciável em todo lugar e de combinar com a geometria euclidiana de sempre.

Isso se estende a n dimensões? Estende: |v| = √(v₁² + v₂² + … + vₙ²). É essa mesma fórmula que define a norma euclidiana em qualquer ℝⁿ.