Média Geométrica

Média geométrica: a média certa para taxas de crescimento

Para n valores positivos, a média geométrica é MG = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ). Na prática calcula-se como exp(média dos logs), mais estável numericamente. Use quando lidar com taxas de crescimento composto (CAGR) e grandezas multiplicativas. Pegue rendimentos de 2×, 8× e 32×: MG = ∛(2·8·32) = ∛512 = 8. A desigualdade das médias (AM-GM) diz que a MG nunca passa da média aritmética, e as duas só coincidem quando todos os valores são iguais. É essa folga que faz a média aritmética de retornos inflar o desempenho composto. Um detalhe: os valores precisam ser estritamente positivos, então para negativos recorra a deslocamento ou log-retorno.

Aplicações

Ela aparece na rentabilidade financeira (taxa equivalente anualizada, desempenho de fundos), no crescimento populacional e econômico (CAGR), em fotometria e astronomia quando se quer um valor central em escala log, em titulações de anticorpos na biologia e no IDH da ONU. O IDH passa suas três dimensões pela média geométrica justamente para que o desequilíbrio seja penalizado.

Perguntas frequentes

Quando usar MG em vez da aritmética? Recorra a ela quando os valores se multiplicam entre si: taxas, razões, variações percentuais. Em retornos de vários períodos, a MG entrega a taxa constante equivalente. A aritmética não dá conta disso.

E se houver zeros ou negativos? Um único zero puxa MG para 0. Negativos deixam a raiz n-ésima indefinida quando n é par. A saída para retornos é trabalhar com 1 + r no lugar de r, o que mantém tudo positivo.

Por que o IDH usa MG? Porque a média geométrica castiga desequilíbrios. Um país rico mas com educação baixa acaba pontuando abaixo de outro cujas três dimensões estão mais niveladas, e isso empurra a medida toda na direção de um desenvolvimento equilibrado.