Calculadora de integral numerica de funcao

Integração numérica (quadratura)

A integração numérica, também chamada de quadratura, aproxima ∫ₐᵇ f(x) dx por uma soma ponderada de valores da função. A regra do trapézio Σ (f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁))/2 · Δx carrega erro O(h²). Já a regra 1/3 de Simpson ajusta parábolas e chega a O(h⁴): (h/3)·[f(x₀) + 4Σf(xímpar) + 2Σf(xpar) + f(xₙ)]. Quer subir ainda mais a ordem? A integração de Romberg roda extrapolação de Richardson sobre estimativas do trapézio, e a Gauss–Legendre escolhe abscissas e pesos de um jeito tão certeiro que n pontos integram qualquer polinômio de grau 2n−1 de forma exata. Veja ∫₀¹ x² dx por Simpson com n = 2: dá (1/6)·[0 + 4·0,25 + 1] = 0,3333…, exatamente o 1/3 esperado.

Aplicações e contexto

A quadratura mostra o seu valor sempre que ∫ f(x) dx não tem primitiva em forma fechada, como ∫ e^(−x²) dx (a função erro) ou ∫ sin(x)/x dx (sinc). Ela aparece no cálculo de área sob a curva (AUC ROC em ML), em volume de revolução e em boa parte da física (trabalho, fluxo elétrico, probabilidade sob PDFs). Também está presente na engenharia (coeficientes de Fourier, matrizes de rigidez em FEM) e nas finanças, onde a precificação de opções com densidades customizadas depende dela.

Perguntas frequentes

Trapézio ou Simpson? Para f suave, Simpson quase sempre leva a melhor. O número de chamadas de função é o mesmo e você ganha duas ordens a mais de precisão.

Quando Simpson falha? Ela tropeça em integrandos não suaves, oscilatórios ou singulares. Nesses casos, recorra à quadratura adaptativa, à Gauss–Kronrod ou a uma regra especializada como a Clenshaw–Curtis.

E em alta dimensão? Regras de grade esbarram rápido na maldição da dimensionalidade. Passando de 4–5 dimensões, troque por Monte Carlo ou quasi-Monte Carlo.