Fatorial Grande (BigInt)

Fatorial de n grande

O fatorial n! é o produto 1 · 2 · 3 · ... · n. Por convenção, 0! = 1, o que bate com a função gama Γ(1) = 1. O crescimento é brutal. 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,43·10¹⁸, e 21! já estoura um inteiro de 64 bits sem sinal (2⁶⁴ ≈ 1,84·10¹⁹). Daí para cima você precisa de inteiros de precisão arbitrária: o BigInt do JavaScript (ES2020+), o int nativo do Python, o BigInteger do Java ou uma biblioteca dedicada. Para dar uma noção de escala, 100! ≈ 9,33·10¹⁵⁷ tem 158 dígitos. Quando basta um valor aproximado, a aproximação de Stirling resolve depressa: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. O fatorial ainda se estende a reais e complexos pela função gama, com Γ(n+1) = n! para inteiros não negativos.

Aplicações

Fatoriais aparecem por toda parte: na combinatória (permutações de n objetos), na probabilidade (distribuições binomial e de Poisson), na série de Taylor eˣ = Σ xⁿ/n!, no RSA e em outros cantos da teoria dos números, além de inúmeros problemas de contagem em computação.

Perguntas frequentes

Por que 0! = 1? Porque é o produto vazio, ou seja, o produto quando não há fator nenhum. Definir assim mantém fórmulas como C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1 funcionando sem casos especiais, e coincide com Γ(1) = 1.

Qual o n máximo em JavaScript comum? Um Number (dupla precisão) guarda até 170!; 171! já vira Infinity. Trocando para BigInt, o único teto é a memória e o tempo que você está disposto a gastar.

Dá para calcular n! para n não inteiro? Dá, pela função gama, já que n! = Γ(n+1). Um caso concreto: (1/2)! = √π/2 ≈ 0,8862.