Calculadora de equacao do plano por 3 pontos

Plano por 3 pontos: ax + by + cz = d

Três pontos que não estejam alinhados definem um único plano em 3D. Para achá-lo, pegue duas arestas do triângulo que eles formam e faça o produto vetorial: n = (P₂ − P₁) × (P₃ − P₁) = (a, b, c) dá o vetor normal, e d = a·x₁ + b·y₁ + c·z₁ fixa a constante. Veja com P₁=(1,0,0), P₂=(0,1,0), P₃=(0,0,1): as arestas são (−1,1,0) e (−1,0,1), o produto vetorial é (1,1,1) e o plano fica x + y + z = 1. A direção da normal separa a face frontal da traseira, o que pesa no back-face culling e na iluminação.

Aplicações

Aparece na computação gráfica, onde a renderização de triângulos precisa de vetores normais para o shading Phong e o back-face culling. Em GIS, serve para interpolar a altimetria entre pontos amostrais nos Modelos Digitais de Elevação. Há ainda usos em CAD e modelagem 3D, na aviação para calcular slope alvo e ângulo de aproximação a partir de waypoints, na engenharia estrutural ao ajustar planos de referência a pontos topográficos, e na detecção de colisão dos motores de física.

Perguntas frequentes

E se os três pontos forem colineares? Aí o produto vetorial colapsa no vetor nulo e não existe resposta única. Por uma única reta passa uma infinidade de planos.

A ordem dos pontos importa? Só para a orientação. Trocar dois pontos faz a normal apontar para o outro lado (n → −n), mas o plano geométrico continua sendo o mesmo.

Como normalizar a equação? Divida a, b, c, d por ‖n‖ para que a normal tenha comprimento 1. Isso deixa os cálculos de distância ponto-plano bem mais limpos: dist(P) = |a·x + b·y + c·z − d|.