Calculadora de distribuição normal Z e percentil

Distribuição normal: escore z e percentil

O escore z padroniza um valor x tirado de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ: Z = (x − μ) / σ. A função cumulativa Φ(z) devolve o percentil, que é a área sob a curva que fica à esquerda de z. Vale guardar dois marcos: z = 1,96 leva a Φ ≈ 0,975 (percentil 97,5, que sustenta o intervalo de confiança bilateral de 95%), enquanto z = 2,576 chega a 99,5%. A regra 68–95–99,7 resume bem a ideia. Cerca de 68% dos valores ficam a até 1σ da média, 95% a até 2σ e 99,7% a até 3σ. Veja o QI ~ N(100, 15). Em x = 120 temos z = (120 − 100)/15 ≈ 1,333, então Φ(1,333) ≈ 0,909, caindo no percentil 90,9.

Aplicações

Está por trás de testes de hipóteses e intervalos de confiança, e também das escalas de pontuação em testes padronizados (o ENEM, por exemplo, usa TRI com média 500 e σ = 100). Aparece ainda no controle estatístico Seis Sigma, no risco financeiro via VaR e na padronização de variáveis para machine learning.

Perguntas frequentes

O que é um z "bom"? Isso depende inteiramente do que você está fazendo. Para caçar outliers, qualquer |z| > 3 já conta como incomum. Num teste de hipótese bilateral com α = 0,05, basta |z| > 1,96 para rejeitar a hipótese nula.

Por que Φ não tem forma fechada? Porque a CDF normal é a integral de e^(−t²/2), e essa integral não tem primitiva elementar. Na prática recorre-se a tabelas, a aproximações numéricas como Abramowitz & Stegun e à função erf.

Teste z ou teste t? Vá de z quando σ for de fato conhecido (o que é raro) ou quando a amostra for grande o bastante, com n > 30, para o teorema central do limite entrar em ação. Em qualquer outra situação, o t de Student é a escolha certa.

E se os dados não forem normais? Primeiro confirme com um Q-Q plot ou um teste de Shapiro-Wilk. Uma transformação como log ou Box-Cox costuma trazer os dados de volta para perto da normal; quando nada resolve, parta para testes não paramétricos.