Calculadora de distância ponto a reta 2D

Distância de um ponto a uma reta em 2D

Pegue uma reta na forma geral a·x + b·y + c = 0 e um ponto P = (x₀, y₀). A distância perpendicular de P à reta é d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Em cima está o valor com sinal da equação da reta avaliada em P, que dá zero justamente quando P está sobre a reta. Ao dividir por √(a² + b²), você reduz o vetor normal (a, b) a comprimento unitário. Veja na prática: a distância de P = (1, 2) à reta x + y − 3 = 0 é |1 + 2 − 3| / √(1² + 1²) = 0 / √2 = 0, então P cai bem em cima da reta. Mude para P = (4, 5) na mesma reta e o resultado é |4 + 5 − 3| / √2 = 6/√2 ≈ 4,243.

Aplicações

Ela aparece em consultas de proximidade em GIS (qual a distância de um prédio até o eixo da rua mais próxima?), em restrições geométricas em CAD como snap a reta e perpendicularidade, e em computação gráfica no antialiasing de linhas finas. Na regressão linear os resíduos são distâncias verticais à reta ajustada, e a regressão ortogonal recorre diretamente a esta fórmula. Você também a encontra na detecção de picos da transformada de Hough e no planejamento de trajetória em robótica, onde mede a distância de segurança a uma parede modelada como reta.

Perguntas frequentes

E se eu tiver a reta na forma reduzida y = m·x + k? Reorganize como m·x − y + k = 0, ou seja, a = m, b = −1, c = k. Daí d = |m·x₀ − y₀ + k| / √(m² + 1).

E se a = b = 0? Aí a "reta" desaba. Não sobra reta nenhuma, só a equação c = 0, e a fórmula acaba dividindo por zero. Trate a entrada como inválida.

Como achar o pé da perpendicular? O ponto da reta mais próximo de P é P − ((a·x₀ + b·y₀ + c)/(a² + b²)) · (a, b). Mantenha o mesmo escalar, mas tire o valor absoluto, e você tem a projeção com sinal ao longo do normal.