Valor Esperado Discreto
E[X] = Σ pᵢ·xᵢ. Recebe listas de valores e probabilidades correspondentes.
E[X]
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Valor esperado de variável aleatória discreta
O valor esperado E[X] de uma variável aleatória discreta é o que resulta quando você pondera cada resultado possível pela sua probabilidade e soma tudo: E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ). Pense nele como a média para a qual o experimento tende quando repetido muitas vezes. Uma propriedade útil é a linearidade, E[aX + b] = a·E[X] + b, e a igualdade E[X + Y] = E[X] + E[Y] vale mesmo com X e Y dependentes. Um dado honesto de seis faces, por exemplo, tem E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. O paradoxo de São Petersburgo é o caso-limite clássico: E pode divergir para infinito, mas ninguém em sã consciência paga infinito para jogar. Quem concilia as duas coisas é a teoria da utilidade marginal.
Aplicações
Aparece sempre que é preciso precificar incerteza: análise de EV em apostas (a vantagem da casa), precificação de seguros (a seguradora sai na frente em valor esperado), decisões tomadas sob risco, modelagem financeira de retorno esperado, aprendizado por reforço que busca recompensa, ciência atuarial, teoria de portfólio e desenho de testes A/B onde se estima o lift esperado. A loteria é o caso de alerta, já que E costuma sair negativo e o jogador médio perde dinheiro.
Perguntas frequentes
O valor esperado é sempre um resultado possível? Não. Um dado tem média 3,5, mas nenhuma face mostra 3,5. E[X] resume a distribuição; não é necessariamente um valor que você consegue tirar.
Por que pessoas jogam na loteria se E < 0? Preferências de risco e teoria da utilidade dão conta disso. Um bilhete barato compra uma chance mínima de um prêmio que muda a vida, e há valor real em passar alguns dias sonhando com ele.
As probabilidades devem somar 1? Para uma distribuição válida, sim. Se as suas não somam, normalize antes dividindo cada P(xᵢ) por ΣP(xᵢ).
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