Calculadora de traco de matriz quadrada

Traço de matriz

O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos que ficam na diagonal principal: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ. Vale guardar duas propriedades. Ele é linear (tr(A+B) = tr(A)+tr(B) e tr(cA) = c·tr(A)) e fica invariante sob similaridade, isto é, tr(P⁻¹AP) = tr(A). Quer dizer que o traço pertence ao operador linear em si, sem depender da base em que você escreveu a matriz. Outro detalhe útil: ele coincide com a soma dos autovalores, contando a multiplicidade.

Exemplo: para A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15.

Aplicações

O traço aparece em vários lugares. No PCA ele dá a variância total, que é justamente o traço da matriz de covariância. Normalizações de machine learning como BatchNorm e LayerNorm usam o conceito quando centralizam pela média por feature. Na teoria espectral ele entrega a soma dos autovalores sem que você precise diagonalizar nada. E na física surge como traço parcial de matrizes densidade na mecânica quântica, ou como traço do tensor de tensões na mecânica do contínuo.

Perguntas frequentes

Por que o traço é invariante sob similaridade? Tudo decorre de um fato só: tr(AB) = tr(BA) vale para quaisquer A e B compatíveis. Agrupe os fatores como tr(P⁻¹·(AP)) = tr((AP)·P⁻¹) = tr(A) e a conta fecha.

O traço serve para matrizes não quadradas? Não. Ele só faz sentido em matrizes quadradas, já que precisa de uma diagonal principal onde os índices de linha e coluna casam.

Traço vs determinante? O traço soma os autovalores; o determinante os multiplica. Os dois são escalares que independem da base, mas cada um carrega uma informação que o outro não tem.