Teste de Primalidade
Verifica se n é primo (trial division até √n) — adequado para n até ~10¹².
É primo?
—
Teste de primalidade para números pequenos
Um inteiro positivo n > 1 é primo quando seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio n. O teste determinístico mais direto é a divisão por tentativa: ver se algum primo p ≤ √n divide n. Roda em O(√n), o que é viável até por volta de 10¹². Pegue n = 97: como √97 ≈ 9,85, os únicos candidatos são 2, 3, 5 e 7, e nenhum divide 97, então é primo. Quando o que você quer é varrer muitos números, o Crivo de Eratóstenes pré-computa todos os primos até um limite em O(N log log N). Para o n bem maior das chaves criptográficas, o Miller-Rabin devolve uma resposta probabilística em O(k log³ n), enquanto o AKS é determinístico em O(log⁶ n), mas tem uma constante alta demais para uso prático. Primos de Mersenne Mₚ = 2ᵖ − 1 têm seu próprio teste especializado, o Lucas-Lehmer. Foi assim que apareceu o maior primo conhecido, M82589933 (24 milhões de dígitos, GIMPS 2018).
Onde o teste de primalidade aparece
- Geração de chaves RSA — todo o par de chaves se apoia na escolha de primos grandes aleatórios
p, q. - OpenSSL, GnuPG e bibliotecas criptográficas rodam Miller-Rabin contra várias bases sempre que geram uma chave.
- Diffie-Hellman / ElGamal dependem de primos seguros
p = 2q + 1em queqtambém é primo. - Programação competitiva — problemas de teoria dos números recorrem o tempo todo a crivos e a testes de primalidade pequenos.
Perguntas frequentes
Por que testar só até √n? Escreva n = a · b com a ≤ b e cai-se em a ≤ √n, de modo que todo composto tem garantidamente um fator dentro desse intervalo.
Miller-Rabin é confiável? O erro cai a 4^(−k) conforme você acrescenta bases aleatórias k. Na criptografia costuma-se fixar k = 40, o que empurra a chance de erro para níveis astronômicos.
Por que 1 não é considerado primo? Admiti-lo arruinaria a fatoração única, pois passariam a valer 6 = 2·3 = 1·2·3 = 1·1·2·3 …
Quando usar o crivo em vez de divisão por tentativa? Use o crivo assim que precisar de todos os primos até N, ou de muitas consultas no mesmo intervalo. Ele dilui o custo entre todas as consultas.
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