Calculadora de regressão linear coeficientes MQO

Coeficientes MQO: estimando inclinação e intercepto

O método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO ou OLS) escolhe a inclinação e o intercepto de y = a·x + b que deixam a soma dos quadrados dos resíduos no menor valor possível. Como há solução fechada, não é preciso iterar: a = Σ((xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)) / Σ(xᵢ − x̄)² e b = ȳ − a·x̄. Quando valem os quatro pressupostos clássicos (linearidade, independência dos erros, homocedasticidade ou variância constante e normalidade dos resíduos), o teorema de Gauss-Markov garante que o MQO é o melhor estimador linear não enviesado, o BLUE. Tome os pares (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,7): chega-se a x̄ = 3 e ȳ = 4,4, o numerador dá 11 e o denominador 10, então a = 1,1 e b = 4,4 − 1,1·3 = 1,1.

Aplicações

Aparece como modelo base em machine learning (sklearn.linear_model.LinearRegression, statsmodels OLS), na física experimental quando se estima a lei de Hooke F = k·x a partir de medições de mola, na econometria para coisas como elasticidade oferta-demanda ou a curva de Phillips, na calibração de instrumentos analíticos e sempre que se prevê vendas ou custos a partir de um único preditor.

Perguntas frequentes

Por que resíduos ao quadrado e não valores absolutos? O quadrado dá uma perda suave e convexa que tem solução fechada, e castiga mais os outliers, que é justamente o que se quer quando os grandes erros são os que pesam.

E se os pressupostos de Gauss-Markov falharem? Se a variância não for constante, parta para mínimos quadrados ponderados ou erros-padrão robustos. Se os resíduos forem correlacionados, você vai precisar de GLS ou de um modelo de série temporal como ARIMA.

Como interpretar os coeficientes? a indica quanto y deve variar quando x sobe uma unidade. b é o y previsto em x = 0, que muitas vezes fica fora do intervalo dos dados, então trate qualquer extrapolação ali com cautela.

O MQO lida com múltiplos preditores? Sim. A forma matricial β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy leva o caso simples direto para a regressão linear múltipla.