Polinômio (Horner)
Avalia polinômio em x usando método de Horner. Coeficientes do maior para o menor grau separados por vírgula.
P(x)
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Esquema de Horner: avaliação eficiente de polinômios
O método de Horner reescreve o polinômio em forma encaixada: p(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = ((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + …. Se você calcula cada potência separadamente, gasta O(n²) multiplicações. Horner derruba isso para O(n), com exatamente n multiplicações e n somas. O nome vem de William Horner (1819), mas a técnica é bem mais antiga: já aparecia em Liu Hui (~séc. III) e, depois, em Newton e Ruffini. Para ver na prática, pegue p(x) = 2x³ + 3x² − x + 5 em x = 2 e resolva de dentro para fora: ((2·2 + 3)·2 − 1)·2 + 5 = (7·2 − 1)·2 + 5 = 13·2 + 5 = 31.
Aplicações: análise numérica e álgebra computacional
Horner aparece em todo lugar onde se avalia polinômio. É o primitivo padrão na análise numérica, onde acumula menos erro de arredondamento que a forma ingênua, e está por baixo dos sistemas de álgebra computacional como Mathematica, SymPy e Maple. É a mesma recorrência da divisão sintética por x − c (Briot–Ruffini), dos interpoladores que avaliam as formas de Newton e Lagrange e da inferência ML em modelos polinomiais. Os compiladores também recorrem a ela para avaliar as aproximações de Taylor de sin, exp e outras transcendentais.
Perguntas frequentes
Como informar os coeficientes? Do maior grau até a constante (aₙ, aₙ₋₁, …, a₀). Qualquer termo que falte tem que entrar como zero.
O que é a divisão sintética? É o Horner aplicado a x − c. Os valores que você obtém pelo caminho acabam sendo os coeficientes do quociente, e o último deles é o resto p(c).
É sempre mais rápido? Quando você avalia em um único ponto, sim. Se precisa de muitos pontos de uma vez, métodos baseados em FFT podem levar vantagem.
Funciona com números complexos? Sim. A mesma recorrência continua valendo em ℂ.
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