Hipergeométrica P(X=k)

Hipergeométrica P(X = k): amostragem sem reposição

A distribuição hipergeométrica conta quantos sucessos você obtém ao amostrar sem reposição de uma população finita. Suponha N itens no total, K deles sucessos, e uma amostra de tamanho n. Então P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n). O que a separa da binomial é que os sorteios não são independentes: tirou um item, as chances mudam para o próximo. Pegue um baralho de 52 e tire 5 cartas. A chance de sair exatamente 2 ases dá C(4, 2)·C(48, 3) / C(52, 5) ≈ 0,0399, perto de 4%. Empurre N para o infinito mantendo K/N fixo e a hipergeométrica vira a binomial.

Aplicações

Aparece no controle de qualidade quando se inspeciona um lote contando peças defeituosas numa amostra de N. As odds de cartas e loterias dependem dela também, como a chance de uma mão específica no pôquer ou bridge. Pesquisas eleitorais recorrem a ela quando a população é pequena e finita, e ecólogos a usam para estimativas de captura-recaptura de populações animais.

Perguntas frequentes

Qual a diferença para a binomial? A binomial supõe ensaios independentes com p que nunca muda, o que você tem ao amostrar com reposição ou de uma população infinita. A hipergeométrica é feita para populações finitas, em que p varia a cada sorteio.

Quando posso aproximar pela binomial? Quando n é pequeno diante de N. A regra prática de sempre é n < 0,05·N. Para frações maiores a diferença passa a pesar, e a hipergeométrica te dá a resposta mais exata.

Quais os valores válidos de k? k tem que cair dentro de max(0, n − (N − K)) ≤ k ≤ min(n, K). Qualquer coisa fora dessa janela não pode acontecer, então sua probabilidade é zero.

Quais são a média e a variância? A média é n·K/N. A variância sai como n·(K/N)·((N − K)/N)·((N − n)/(N − 1)), em que o termo final é a correção de população finita. É ele que puxa a variância para baixo do valor que a binomial daria.